137
правок
Изменения
→Расстояние от вектора до подпространства
{{Теорема
|statement= <tex>\forall\: x,y\in E:\;|\left\langle x,y\right\rangle _{G}|\leq\Vert x\Vert_{G}\cdot\Vert y\Vert_{G}</tex>
|proof=Рассмотрим <tex>\left\langle \lambda x+y;\lambda x+y\right\rangle =\Vert\lambda x+y\Vert^{2}\geq0</tex>
, где <tex>\lambda</tex> - число
<tex>\left\langle \lambda x+y;\lambda x+y\right\rangle = \left\langle \lambda x;\lambda x\right\rangle +\left\langle \lambda x;y\right\rangle +\left\langle y;\lambda x\right\rangle +\left\langle y;y\right\rangle =</tex> <tex>\lambda^{2}\left\langle x,x\right\rangle +\lambda\cdot(\left\langle x;y\right\rangle +\left\langle y;x\right\rangle )+\left\langle y,y\right\rangle =\Vert x\Vert^{2}\cdot\lambda^{2}+2\lambda\left\langle x;y\right\rangle + \Vert y\Vert^{2}\geq0</tex>
<tex>D \le 0</tex>
возьмём корень из обоих частей уравнения и получим искомое неравенство
}}
==Угол между векторами==
{{Определение
|definition=<tex>\varphi=\angle(x,y)=arccos\frac{\left\langle x;y\right\rangle }{\Vert x\Vert\cdot\Vert y\Vert}</tex>
}}
NB: корректность следует напрямую из неравенства Коши-Буняковского:
<tex>|\left\langle x,y\right\rangle |\leq\Vert x\Vert\cdot\Vert y\Vert</tex>
==Расстояние от вектора до подпространства==
{{Определение
|definition=
Пусть <tex>L</tex> - подпространство <tex>E\:(x \in E)</tex>
Тогда <tex>dist\{x,L\}=inf_{y\in L}(dist\{x,y\})</tex>
}}
[[Категория: Алгебра и геометрия 1 курс]]
