Вещественные числа — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Дополнение множества рациональных чисел)
(Неполнота числовой оси)
Строка 74: Строка 74:
 
<tex> d^2 < 2,\ d^2 = 2,\ d^2 > 2</tex>
 
<tex> d^2 < 2,\ d^2 = 2,\ d^2 > 2</tex>
  
<tex> d^2=2</tex> &mdash; невозможно, доказывается через несократимость дроби <tex> d = \frac mn: </tex>
+
Случай <tex> d^2=2 </tex> невозможен. Докажем это.
  
<tex> m^2 = 2n^2,\ </tex> 2 - простое, значит <tex>m</tex> делится без остатка на <tex>2n</tex>
+
Предположим, что <tex> d^2=2;\ d\in \mathbb Q </tex>, Значит число <tex>d</tex> можно представить в виде несократимой дроби <tex> d = \frac mn</tex>.
 +
 
 +
Тогда: <tex> d^2 = 2 \Rightarrow m^2 = 2n^2,\ </tex> 2 - простое, значит <tex>m</tex> делится на <tex>2n</tex>
  
 
<tex> m = 2p,\ 4p^2 = 2n^2,\ n^2=2p^2;\ n\:\vdots\:2</tex>, противоречие.
 
<tex> m = 2p,\ 4p^2 = 2n^2,\ n^2=2p^2;\ n\:\vdots\:2</tex>, противоречие.
  
2 случая: либо <tex> d^2 < 2 </tex>, либо <tex> d^2 > 2 </tex>.
+
Возможны два случая: либо <tex> d^2 < 2 </tex>, либо <tex> d^2 > 2 </tex>. Рассмотрим первый из них, второй доказывается аналогичным образом
  
 
1) Для всех рациональных <tex> \delta \in (0; 1): </tex>
 
1) Для всех рациональных <tex> \delta \in (0; 1): </tex>
Строка 88: Строка 90:
 
<tex> \delta^2 < \delta \Rightarrow (d + \delta)^2 < d^2 + 2d\delta + \delta = d^2 + (2d+1)\delta </tex>
 
<tex> \delta^2 < \delta \Rightarrow (d + \delta)^2 < d^2 + 2d\delta + \delta = d^2 + (2d+1)\delta </tex>
  
<tex> d^2 + (2d+1)\delta < 2 \Leftrightarrow \delta < \frac{2 - d^2}{2d+1}, d^2 < 2, 2 - d^2 > 0 </tex>
+
<tex> d^2 + (2d+1)\delta < 2 \iff \delta < \frac{2 - d^2}{2d+1},d^2 < 2,\ 2 - d^2 > 0 \Rightarrow \delta > 0 </tex>
  
 
<tex> \delta_0 \in \mathbb Q;\ \delta_0 = min\{ \frac{1}{3}, \frac{2-d^2}{2d+1} \} \in (0; 1) </tex>;
 
<tex> \delta_0 \in \mathbb Q;\ \delta_0 = min\{ \frac{1}{3}, \frac{2-d^2}{2d+1} \} \in (0; 1) </tex>;
Строка 95: Строка 97:
  
 
<tex> A \le d;\ d + \delta_0 \le d,\ \delta_0 \le 0 </tex>, противоречие.
 
<tex> A \le d;\ d + \delta_0 \le d,\ \delta_0 \le 0 </tex>, противоречие.
 
Для случая <tex> d^2 > 2 </tex> доказывается аналогично.
 
 
}}
 
}}
  

Версия 08:01, 18 ноября 2010

Лекция от 13 сентября 2010.

Натуральные числа

Множество натуральных чисел [math] \mathbb N = \{1, 2, 3, \ldots\}[/math] определяется следующим образом:

За числом [math]n[/math] в натуральном ряде непосредственно следует [math]n + 1[/math], между [math]n[/math] и [math]n + 1[/math] других [math] k \in \mathbb N [/math] нет.

Гильберт:

Натуральные числа - первичные элементы, природа которых не обсуждается, все остальное базируется на этом.

Целые числа

Множество целых чисел [math] \mathbb Z = \{ 0 \} \cup \{ n, -n | n \in \mathbb N \} [/math]. Также [math] \mathbb N \subset \mathbb Z [/math]

Рациональные числа

Множество рациональных чисел [math] \mathbb Q = \{\frac mn | m \in \mathbb Z, n \in \mathbb N \} [/math]

Множество рациональных чисел упорядочено, то есть всегда выполняется только один из трех случаев: [math] r \lt q, r = q[/math] или [math] r \gt q [/math]

Модуль

Определение:
[math] |x| = \begin{cases} x, & x \gt 0 \\ 0, & x = 0 \\ -x, & x \lt 0 \end{cases} [/math] — модуль или абсолютная величина числа x


Свойства модуля:

[math] 1) |ab| = |a||b|; \\ 2) |x + y| \le |x| + |y|; \\ 3) |x - a| \le r \Leftrightarrow a - r \le x \le a + r; [/math]

Аксиома Архимеда

В множестве [math] \mathbb Q [/math] выполняется аксиома Архимеда:

[math] 0 \lt r \lt q; \\ r, q \in \mathbb Q \Rightarrow \\ \exists n \in \mathbb N : q \lt n*r [/math]

Дополнение множества рациональных чисел

Пусть [math]A, B[/math] — два числовых множества.


Определение:
Запись [math]A \lt B[/math] означает, что [math] \forall a \in A, \forall b \in B \Rightarrow a \lt b [/math].


Аналогично определяются записи типа [math] A \le B [/math], и т. д. и т. п.

Если [math] B = \{b\}[/math], то запись [math] A \lt b [/math] означает, что [math] A \lt B [/math].

Неполнота числовой оси

Утверждение:
Пусть

[math] A = \{ r \in \mathbb Q | r \gt 0, r^2 \lt 2\} \\ B = \{ r \in \mathbb Q | r \gt 0, r^2 \gt 2\} [/math]

Тогда [math] \exists d : A \le d \le B [/math]
[math]\triangleright[/math]

Допустим, что такое d существует и [math] d \in \mathbb Q [/math]. Тогда возможны три случая:

[math] d^2 \lt 2,\ d^2 = 2,\ d^2 \gt 2[/math]

Случай [math] d^2=2 [/math] невозможен. Докажем это.

Предположим, что [math] d^2=2;\ d\in \mathbb Q [/math], Значит число [math]d[/math] можно представить в виде несократимой дроби [math] d = \frac mn[/math].

Тогда: [math] d^2 = 2 \Rightarrow m^2 = 2n^2,\ [/math] 2 - простое, значит [math]m[/math] делится на [math]2n[/math]

[math] m = 2p,\ 4p^2 = 2n^2,\ n^2=2p^2;\ n\:\vdots\:2[/math], противоречие.

Возможны два случая: либо [math] d^2 \lt 2 [/math], либо [math] d^2 \gt 2 [/math]. Рассмотрим первый из них, второй доказывается аналогичным образом

1) Для всех рациональных [math] \delta \in (0; 1): [/math]

[math] (d + \delta)^2 = d^2 + 2d\delta + \delta^2 [/math]

[math] \delta^2 \lt \delta \Rightarrow (d + \delta)^2 \lt d^2 + 2d\delta + \delta = d^2 + (2d+1)\delta [/math]

[math] d^2 + (2d+1)\delta \lt 2 \iff \delta \lt \frac{2 - d^2}{2d+1},\ d^2 \lt 2,\ 2 - d^2 \gt 0 \Rightarrow \delta \gt 0 [/math]

[math] \delta_0 \in \mathbb Q;\ \delta_0 = min\{ \frac{1}{3}, \frac{2-d^2}{2d+1} \} \in (0; 1) [/math];

Для такого [math] \delta_0: (d + \delta_0)^2 \lt 2 \Leftarrow (d + \delta_0) \in A [/math]

[math] A \le d;\ d + \delta_0 \le d,\ \delta_0 \le 0 [/math], противоречие.
[math]\triangleleft[/math]

Этим утверждением обнаруживается серьезный пробел во множестве рациональных чисел. Для его ликвидации вводятся некоторые объекты. При таком пополнении должны выполняться:

  1. 4 арифметических действия с сохранением законов арифметики.
  2. Сохранение упорядоченности.
  3. Выполнение аксиомы непрерывности:

Пусть [math]A [/math] и [math]B [/math] — 2 произвольных подмножества из пополненного множества рациональных чисел, и [math] A \le B [/math], то в пополненном множестве [math] \exists d: A \le d \le B [/math]

Получим множество, называемое множеством вещественных чисел — [math] \mathbb R, \, \mathbb Q \subset \mathbb R [/math].

Из разбора ясно, что мы стоим на аксиоматических позициях.

Для анализа важно то, что для [math] \mathbb R [/math] выполняется аксиома непрерывности.

Существует несколько моделей [math] \mathbb R [/math] :

  1. Модель Дедекинда
  2. Модель Вейерштрасса
  3. Модель Кантора

Базируясь на аксиоме Архимеда и непрерывности, можно установить, что [math] \mathbb Q [/math] всюду плотно на [math] \mathbb R [/math]:

В любом вещественном интервале [math] (a, b) : (x: a \lt x \lt b) [/math] найдется рациональное число.

Для нас этот важен тем, что он гарантирует единственность пополнения [math] \mathbb Q [/math] для выполнения аксиомы непрерывности.

Любое такое пополнение, независимо от модели, приводит к множествам, изоморфным друг другу.