Изменения

<tex> \mathbb N </tex> - натуральные == Натуральные числа = {1, 2, 3, ...}Определяются следующим образом:=

[[Множества|Множество]] натуральных чисел <tex> \mathbb N = \{1, 2, 3, \ldots\}</tex> определяется следующим образом: За числом <tex>n </tex> в натуральном ряде непосредственно следует <tex>n + 1</tex>, между <tex>n </tex> и <tex>n + 1 </tex> других

Гильберт: натуральные  ''Натуральные числа {{- --}} первичные элементы, природа которых не обсуждается, все остальное базируется на этом.'' == Целые числа ==

Множество целых чисел <tex> \mathbb Z = \{ 0 \} \cup \{ n, -n | n \in \mathbb N \} </tex> - множество целых чисел.Также <tex> \mathbb N \subset \mathbb Z </tex>

<tex> \mathbb Q </tex> - рациональные числа:Множество рациональных чисел <tex> \mathbb Q = \{\frac mn ; | m \in \mathbb Z, n \in \mathbb N \}; </tex>

Множество рациональных чисел ''упорядочено'', то есть всегда выполняется только один из трех случаев: <tex> \mathbb Q r < q, r = q</tex> или <tex> r > q </tex> ''упорядочено''.

Всегда выполняется только один из трех случаев: <tex> r < q, r = q, r > q </tex>== Модуль ===

|definition= <tex> |x| = \begin{cases} \ \ x, & x > 0 \\ 0, & x = 0 \\ -x, & x < 0 \end{cases} </tex> - &mdash; модуль или абсолютная величина числа x

Свойствамодуля: #<tex>|ab| = |a||b|</tex>#<tex>|x + y| \le |x| + |y|</tex>#<tex>|x - a| \le r \Leftrightarrow a - r \le x \le a + r</tex>

<tex>1) |ab| = |a||b|; \\2) |x + y| \le |x| + |y|; \\3) |x - a| \le r \Leftrightarrow a - r \le x \le a + r;</tex>== Аксиома Архимеда ===

В множестве <tex> \mathbb Q </tex> выполняется '''аксиома Архимеда''':

<tex> 0 < r < q; \\ r, q \in \mathbb Q \Rightarrow \\\exists n \in \mathbb N : q < n*\cdot r

== Дополнение множества рациональных чисел == Пусть <tex>A, B - </tex> &mdash; два числовых множества.

|definition= Запись <tex>A < B </tex> означает, что <tex> \forall a \in A, \forall b \in B \Rightarrow a < b </tex>.

Аналогично определяются записи типа <tex> A \le B </tex>, и т.д.и т. п.

Если <tex> B = \{b\}: </tex>, то запись <tex> A < B \Leftrightarrow b </tex> означает, что <tex> A < b B </tex>. === Неполнота числовой оси ===

|statement= Пусть А, B состоят из рациональных положительных чисел r, таких, что

<tex>A = \{рациональные положительные r: \in \mathbb Q | r > 0, r^2 < 2\} \\B = \{ r \in \mathbb Q | r > 0, r^2 > 2\};</tex>

Тогда <tex> \nexists d \in \mathbb Q : A \le d \le B = {рациональные положительные r: r^2 </tex> 2};

Допустим, что такое <tex>d</tex> существует и <tex> d \in \mathbb Q </tex>. Тогда возможны три случая: <tex> d^2 < 2,\ d^2 = 2,\ d^2 > 2</tex>

Случай <tex> d^2 < 2, d^2 = 2, d^2 > 2</tex>невозможен. Докажем это.

Предположим, что <tex> d^2=2;\ d\in \mathbb Q </tex> - невозможно, доказывается через несократимость Значит число <tex>d</tex> можно представить в виде несократимой дроби <tex> d = \frac mn: </tex>.

Тогда: <tex> d^2 = 2 \Rightarrow m^2 = 2n^2, \ </tex>2 - простое, значит <tex>m </tex> делится без остатка на 2n<tex>2</tex>

<tex> m = 2p,\, 4p^2 = 2n^2, \ n^2=2p^2; \, n\, :\vdots \, :2</tex>, противоречие.

2 Возможны два случая: либо <tex> d^2 < 2 </tex>, либо <tex> d^2 > 2 </tex>.Рассмотрим первый из них, второй доказывается аналогичным образом

<tex> (d + \delta)^2 = d^2 + 2d\delta + \delta^2 \\\delta^2 < \delta \Rightarrow (d + \delta)^2 < d^2 + 2d\delta + \delta = d^2 + (2d+1)\delta </tex>

Заметим, что если <tex> \delta^2 < \delta \Rightarrow (frac{2 - d + \delta)^2 }{2d+1}< /tex>, то <tex>d^2 + (2d+1)\delta + < 2 ,\, d^2 < 2,\delta = , 2 - d^2 + (2d+1)> 0 \Rightarrow \delta > 0 </tex>

<tex> d^2 + (2d+1)\delta < 2 delta_0 \in \mathbb Q; \delta_0 = \Leftrightarrow min{(\delta < frac{1}{3}, \frac{2 - d^2}{2d+1}, d^2 < 2, 2 - d^2 > )} \in (0 ; 1) </tex>;

Для такого <tex> \delta_0 : (d + \in delta_0)^2 < 2 \mathbb Q = min\{ \frac{1}{3}, \frac{2-Rightarrow (d^2}{2d+1} \} delta_0) \in (0; 1) A </tex>;

Для такого По предположению, <tex> A \le d \delta_0: (rightarrow d + \delta_0)^2 < 2 \Leftarrow (le d + , \delta_0) \in A le 0 </tex>, противоречие.

2) Пусть <tex> A d^2 > 2 </tex>Для всех рациональных <tex> \delta \le in (-1; 0): </tex><tex> (d. + \delta)^2 = d ^2 + 2d\delta_0 delta + \le delta^2 > d, ^2 + 2d\delta_0 delta + \le 0 delta</tex>, противоречие.

Для случая При <tex> \delta > \frac{2 - d^2}{2d + 1}, d^2 + 2d\delta + \delta > 2 , d^2 > 2 </tex> , тогда <tex> 2 - d^2 < 0 \Rightarrow \delta < 0 </tex>  Рассмотрим <tex> \delta_0 \in \mathbb{Q}: \delta_0 = \max{(-\frac13, \frac{2 - d^2}{2d + 1})} \in (-1; 0) </tex>, тогда <tex> (d + \delta)^2 > 2 \Rightarrow d + \delta_0 \in B </tex><tex> B \ge d \rightarrow d + \delta_0 \ge d \rightarrow \delta_0 \ge 0 </tex> доказывается аналогично, пришли к противоречию.}}

Этим утверждением обнаруживается серьезный пробел в <tex> \mathbb Q </tex>во множестве рациональных чисел.

Пусть А <tex>A </tex> и В - <tex>B </tex> &mdash; 2 произвольных подмножества из пополненного множества рациональных чисел, и <tex> A \le B </tex>, то в пополненном множестве<tex> \exists d: A \le d \le B </tex>

Получается Получим множество, называемое множеством '''''вещественных''''' чисел {{--- }} <tex> \mathbb R, \, \mathbb Q \subset \mathbb R </tex>.

Несколько Существует несколько [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%BE%D0%BD%D1%81%D1%82%D1%80%D1%83%D0%BA%D1%82%D0%B8%D0%B2%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D1%81%D0%BF%D0%BE%D1%81%D0%BE%D0%B1%D1%8B_%D0%BE%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F_%D0%B2%D0%B5%D1%89%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B0 моделей построения] <tex> \mathbb R </tex> :# [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BA%D0%B8%D0%BD%D0%B4%D0%BE%D0%B2%D0%BE_%D1%81%D0%B5%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5 Модель Дедекинда]

Для нас этот факт важен тем, что он гарантирует единственность пополнения <tex> \mathbb Q </tex> для выполнения аксиомы непрерывности.

Любое такое пополнение , независимо от модели, приводит к множествам, изоморфным друг другу.