1679
правок
Изменения
м
Лекция от 13 сентября 2010.[[Категория:Математический анализ 1 курс]]
[[Категория:Математический анализ 1 курс]]
исправил немного
== Натуральные числа ==
[[Множества|Множество ]] натуральных чисел <tex> \mathbb N = \{1, 2, 3, \ldots\}</tex> определяется следующим образом:
За числом <tex>n</tex> в натуральном ряде непосредственно следует <tex>n + 1</tex>, между <tex>n</tex> и <tex>n + 1</tex> других
Гильберт:
''Натуральные числа {{- --}} первичные элементы, природа которых не обсуждается, все остальное базируется на этом.''
== Целые числа ==
Свойства модуля:
#<tex>1) |ab| = |a||b|; \\</tex>2) #<tex>|x + y| \le |x| + |y|; \\</tex>3) #<tex>|x - a| \le r \Leftrightarrow a - r \le x \le a + r;</tex>
=== Аксиома Архимеда ===
В множестве <tex> \mathbb Q </tex> выполняется '''аксиома Архимеда''':
<tex> 0 < r < q; \\ r, q \in \mathbb Q \Rightarrow \\\exists n \in \mathbb N : q < n*\cdot r
</tex>
</tex>
Тогда <tex> \exists nexists d \in \mathbb Q : A \le d \le B </tex>
|proof=
Предположим, что <tex> d^2=2;\ d\in \mathbb Q </tex>, Значит число <tex>d</tex> можно представить в виде несократимой дроби <tex> d = \frac mn</tex>.
Тогда: <tex> d^2 = 2 \Rightarrow m^2 = 2n^2,\ </tex> 2 - простое, значит <tex>m</tex> делится на <tex>2n2</tex>
<tex> m = 2p,\ , 4p^2 = 2n^2,\ n^2=2p^2;\ , n\:\vdots\:2</tex>, противоречие.
Возможны два случая: либо <tex> d^2 < 2 </tex>, либо <tex> d^2 > 2 </tex>. Рассмотрим первый из них, второй доказывается аналогичным образом
\delta^2 < \delta \Rightarrow (d + \delta)^2 < d^2 + 2d\delta + \delta = d^2 + (2d+1)\delta </tex>
Заметим, что если <tex> \delta < \frac{2 - d^2}{2d+1}</tex>, то <tex>d^2 + (2d+1)\delta < 2 ,\ , d^2 < 2,\ , 2 - d^2 > 0 \Rightarrow \delta > 0 </tex>
<tex> \delta_0 \in \mathbb Q;\ \delta_0 = \min\{ (\frac{1}{3}, \frac{2-d^2}{2d+1} \)} \in (0; 1) </tex>;
Для такого <tex> \delta_0: (d + \delta_0)^2 < 2 \Leftarrow Rightarrow (d + \delta_0) \in A </tex>
По предположению, <tex> A \le d;\ rightarrow d + \delta_0 \le d,\ \delta_0 \le 0 </tex>, противоречие. 2) Пусть <tex> d^2 > 2 </tex>Для всех рациональных <tex> \delta \in (-1; 0): </tex><tex> (d + \delta)^2 = d^2 + 2d\delta + \delta^2 > d^2 + 2d\delta + \delta</tex> При <tex> \delta > \frac{2 - d^2}{2d + 1}, d^2 + 2d\delta + \delta > 2, d^2 > 2 </tex> , тогда <tex> 2 - d^2 < 0 \Rightarrow \delta < 0 </tex> Рассмотрим <tex> \delta_0 \in \mathbb{Q}: \delta_0 = \max{(-\frac13, \frac{2 - d^2}{2d + 1})} \in (-1; 0) </tex>, тогда <tex> (d + \delta)^2 > 2 \Rightarrow d + \delta_0 \in B </tex><tex> B \ge d \rightarrow d + \delta_0 \ge d \rightarrow \delta_0 \ge 0 </tex>, пришли к противоречию.}}
Этим утверждением обнаруживается серьезный пробел во множестве рациональных чисел.
Пусть <tex>A </tex> и <tex>B </tex> — 2 произвольных подмножества из пополненного множества рациональных чисел, и <tex> A \le B </tex>, то в пополненном множестве <tex> \exists d: A \le d \le B </tex>
Получим множество, называемое множеством '''''вещественных''''' чисел — {{---}} <tex> \mathbb R, \, \mathbb Q \subset \mathbb R </tex>.
Из разбора ясно, что мы стоим на аксиоматических позициях.
Для анализа важно то, что для <tex> \mathbb R </tex> выполняется аксиома непрерывности.
Существует несколько [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%BE%D0%BD%D1%81%D1%82%D1%80%D1%83%D0%BA%D1%82%D0%B8%D0%B2%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D1%81%D0%BF%D0%BE%D1%81%D0%BE%D0%B1%D1%8B_%D0%BE%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F_%D0%B2%D0%B5%D1%89%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B0 моделей построения] <tex> \mathbb R </tex> :# [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BA%D0%B8%D0%BD%D0%B4%D0%BE%D0%B2%D0%BE_%D1%81%D0%B5%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5 Модель Дедекинда]
# Модель Вейерштрасса
# Модель Кантора
В любом вещественном интервале <tex> (a, b) : (x: a < x < b) </tex> найдется рациональное число.
Для нас этот факт важен тем, что он гарантирует единственность пополнения <tex> \mathbb Q </tex> для выполнения аксиомы непрерывности.
Любое такое пополнение, независимо от модели, приводит к множествам, изоморфным друг другу.
