Просмотр исходного текста страницы Взвешенное дерево


'''Scapegoat-дерево'''  {{---}} сбалансированное [[Дерево поиска, наивная реализация | двоичное дерево поиска]], обеспечивающее наихудшее <tex>O(\log N)</tex> время поиска, и <tex>O(\log N)</tex> {{---}} амортизирующее время вставки и удаления элемента.
В отличие от большинства других самобалансирующихся бинарных деревьев поиска , которые обеспечивают худшем случае <tex>O(\log N)</tex> время поиска, Scapegoat деревья не требуют дополнительной памяти в узлах по сравнению с обычным двоичным деревом поиска: узел хранит только ключ и два указателя на своих потомков.


== Операции ==

{{Определение
|definition=Бинарное дерево поиска называется '''сбалансированным''', если половина вершин расположены слева от корня, а другая половина справа.
}}
Введем обозначения:
Квадратные скобки в обозначениях означают, что хранится это значение явно, а значит можно взять за время <tex>O(1)</tex>. Круглые скобки означают, что значение будет вычисляться по ходу дела то есть память не расходуется, но зато нужно время на вычисление.
 <tex>T</tex> — обозначение дерева,
 <tex>root[T]</tex> — корень дерева <tex>T</tex>, 
 <tex>left[x]</tex> — левый сын вершины <tex>x</tex>,
 <tex>right[x]</tex> — правый сын вершины <tex>x</tex>,
 <tex>\mathtt{brother(x)}</tex> — брат вершины <tex>x</tex> (вершина, которая имеет с <tex>x</tex> общего родителя),
 <tex>depth(x)</tex> — глубина вершины <tex>x</tex>. Это расстояние от неё до корня (количество ребер),
 <tex>height(T)</tex> — глубина дерева <tex>T</tex>. Это глубина самой глубокой вершины дерева <tex>T</tex>,
 <tex>weight(x)</tex> — вес вершины <tex>x</tex>. Это количество всех её дочерних вершин + 1 (она сама),
 <tex>weight[T]</tex> — размер дерева <tex>T</tex>. Это количество вершин в нём (вес корня),
 <tex>\mathtt{maxweight[T]}</tex> — максимальный размер дерева. Это максимальное значение, которое параметр <tex>weight[T]</tex> принимал с момента последней перебалансировки.<br> Если перебалансировка произошла только что, то <tex>\mathtt{maxweight[T]} = weight[T]</tex>
[[Файл:0ce162a62b624da8ba02233b4b254f23.png]]

Синим цветом обозначены '''глубины''' вершин, а красным - их '''веса'''.
Считается вес вершины следующим образом: для новой вершины вес = 1. Для её родителя вес = 1 (вес новой вершины) + 1 (вес самого родителя) + <tex>\mathtt{weight(brother(x))}</tex>.
Возникает вопрос {{---}} как посчитать <tex>\mathtt{weight(brother(x))}</tex>? Делается это рекурсивно. Это займёт время <tex>O\mathtt{(weight(brother(x)))}</tex>. Понимая, что в худшем случае  придётся посчитать вес половины дерева — здесь появляется та самая сложность <tex>O(N)</tex> в худшем случае, о которой говорилось в начале. Но поскольку совершается обход поддерева <tex>\alpha</tex>-сбалансированного по весу дерева можно показать, что амортизированная сложность операции не превысит <tex>O(\log N)</tex>.
В данном Scapegoat-дереве <tex>weight[T] = 4</tex>, <tex>\mathtt{maxweight[T]} \geqslant 4</tex>

Коэффициeнт <tex>\alpha</tex> — это число в диапазоне от <tex>[0.5; 1)</tex>, определяющее требуемую степень качества балансировки дерева. 
{{Определение
|definition=Некоторая вершина <tex>x</tex> называется '''α - сбалансированной по весу''', если <tex>\mathtt{weight(left[x])} \leqslant \alpha  \cdot weight(x)</tex> и <tex>\mathtt{weight(right[x])} \leqslant \alpha \cdot size(x)</tex>.}} 


Перед тем как приступить к работе с деревом, выбирается параметр <tex>\alpha</tex> в диапазоне <tex>[0.5; 1)</tex>. Также нужно завести две переменные для хранения текущих значений <tex>weight[T]</tex> и <tex>\mathtt{maxweight[T]}</tex> и обнулить их.
=== Поиск элемента ===
Пусть требуется найти в данном Scapegoat дереве какой-то элемент. Применим стандартный алгоритм для двоичного дерева поиска - идем от корня, если значение в вершине равно значению искомого элемента, возвращаем, если значение в вершине меньше, то рекурсивно запускаемся от левого поддерева, если больше, то, соответственно, от левого.
'''Замечание:''' Дерево по ходу поиска искомой вершины ''не изменяется''.
Сложность операции поиска зависит от коэффициента <tex>\alpha</tex> и выражается формулой {{---}}  <tex>\log_\frac{1}{\alpha} (N)</tex>

Таким образом, сложность получается логарифмическая, НО! При <tex>\alpha</tex> близком к <tex>0.5</tex> мы получаем двоичный (или почти двоичный) логарифм, что означает практически идеальную  скорость поиска. При <tex>\alpha</tex> близком к единице основание логарифма стремится к единице, а значит общая сложность стремится к <tex>O(N)</tex>.
=== Вставка элемента ===
Классический алгоритм вставки нового элемента: поиском ищем место, куда бы подвесить новую вершину, ну и подвешиваем. Легко понять, что это действие могло нарушить <tex>\alpha</tex>-балансировку по весу для одной или более вершин дерева. И вот теперь начинается то, что и дало название нашей структуре данных: требуется найти  Scapegoat-вершину — вершину, для которой потерян <tex>\alpha</tex>-баланс и её поддерево должно быть перестроено. Сама только что вставленная вершина, хотя и виновата в потере баланса, Scapegoat-вершиной  стать не может — у неё ещё нет потомков, а значит её баланс идеален. Соответственно, нужно пройти по дереву от этой вершины к корню, пересчитывая веса для каждой вершины по пути. Может возникнуть вопрос - нужно ли хранить ссылки на родителей? Поскольку к месту вставки новой вершины пришли из корня дерева —  есть стек, в котором находится весь путь от корня к новой вершине. Берутся родителей из него. Если на этом пути от нашей вершины к корню встретится вершина, для которой критерий <tex>\alpha</tex>-сбалансированности по весу нарушился — тогда полностью перестраивается соответствующее ей поддерево так, чтобы восстановить <tex>\alpha</tex>-сбалансированность по весу. 
Сразу появляется вопрос {{---}} как делать перебалансировку найденной Scapegoat-вершины?
Есть 2 способа перебалансировки, {{---}} тривиальный и чуть более сложный.
====Тривиальный способ перебалансировки====
# совершается обход всего поддерева Scapegoat-вершины (включая её саму) с помощью in-order обхода — на выходе получается отсортированный список (свойство In-order обхода бинарного дерева поиска).
# Находится медиана на этом отрезке и подвешивается в качестве корня поддерева.
# Для «левого» и «правого» поддерева рекурсивно повторяется та же операция.
Данный способ требует  <tex>O\mathtt{(weight(Scapegoat-root))}</tex> времени и столько же памяти.
====Более сложный способ перебалансировки====
Время работы перебалансировки вряд ли улучшится — всё-таки каждую вершину нужно «подвесить» в новое место. Но можно попробовать сэкономить память. Давайте посмотрим на 1 способ алгоритма внимательнее. Вот выбирается медиану, подвешивается в корень, дерево делится на два поддерева — и делится весьма однозначно. Никак нельзя выбрать «какую-то другую медиану» или подвесить «правое» поддерево вместо левого. Та же самая однозначность преследует и на каждом из следующих шагов. Т.е. для некоторого списка вершин, отсортированных в возрастающем порядке,  будет ровно одно порождённое данным алгоритмом дерево. А откуда же берется отсортированный список вершин? Из in-order обхода изначального дерева. То есть каждой вершине, найденной по ходу in-order обхода перебалансируемого дерева соответствует одна конкретная позиция в новом дереве. И можно эту позицию рассчитать и без создания самого отсортированного списка. А рассчитав — сразу её туда записать. Возникает только одна проблема —  этим затирается какая-то (возможно ещё не просмотренная) вершина — что же делать? Хранить её. Где? Ответ прост: выделять для списка таких вершин память. Но этой памяти нужно будет уже не <tex>O(weight(N))</tex>, а всего лишь <tex>O(\log N)</tex>.

Представьте себе в уме дерево, состоящее из трёх вершин — корня и двух подвешенных как «левые» сыновья вершин. In-order обход вернёт нам эти вершины в порядке от самой «глубокой» до корня, но хранить в отдельной памяти по ходу этого обхода нам придётся всего одну вершину (самую глубокую), поскольку когда мы придём во вторую вершину, мы уже будем знать, что это медиана и она будет корнем, а остальные две вершины — её детьми. Т.е. расход памяти здесь — на хранение одной вершины, что согласуется с верхней оценкой для дерева из трёх вершин — <tex>\log(3)</tex>.
Таким образом, если нужно сэкономить память, то 2 способ перебалансировки дерева {{---}} лучший вариант.
=== Удаление элемента ===
Удаляется элемент из дерева обычным удалением вершины бинарного дерева поиска (поиск элемента, удаление, возможное переподвешивание детей). 
Далее следует проверка выполнения условия: 
:<tex>weight[T] < \alpha \cdot \mathtt {maxweight[T]}</tex>;
Если оно выполняется — дерево могло потерять <tex>\alpha</tex> - балансировку по весу, а значит нужно выполнить полную перебалансировку дерева (начиная с корня) и присвоить:
:<tex>\mathtt {maxweight[T]} = weight[T]</tex>;


==Сравнение с другими деревьями==
===Достоинства Scapegoat дерева===
*  По сравнению с такими структурами, как [[Красно-черное дерево]], [[АВЛ-дерево]] и [[Декартово дерево]], нет необходимости хранить какие-либо дополнительные данные в вершинах(а значит появляется выигрыш по памяти).
* Отсутствие необходимости перебалансировать дерево при операции поиска (а значит гарантируется максимальное время поиска <tex>O(\log N)</tex>, в отличии от структуры данных [[Splay-дерево]], где гарантируется только амортизированное <tex>O(\log N)</tex>)
* При построении дерева выбирается некоторый коэффициент <tex>\alpha</tex>, который позволяет улучшать дерево, делая операции поиска более быстрыми за счет замедления операций модификации или наоборот. Можно реализовать структуру данных, а дальше уже подбирать коэффициент по результатам тестов на реальных данных и специфики использования дерева.
===Недостатки Scapegoat дерева===
* В худшем случае операции модификации дерева могут занять <tex>O(N)</tex> времени (амортизированная сложность у них по-прежнему <tex>O(\log N)</tex>, но защиты от плохих случаев нет).
* Можно неправильно оценить частоту разных операций с деревом и ошибиться с выбором коэффициента <tex>\alpha</tex> — в результате часто используемые операции будут работать долго, а редко используемые — быстро, что не очень хорошо.
==См. также==
* [[Поисковые структуры данных]]
* [[АВЛ-дерево]]
* [[Декартово дерево]]
* [[Splay-дерево]]
* [[Красно-черное дерево]]
==Источники информации==
*[https://en.wikipedia.org/wiki/Scapegoat_tree Википедия - Scapegoat tree]<br>
*[https://habrahabr.ru/company/infopulse/blog/246759/ Хабрахабр - Scapegoat деревья]<br>
*[https://people.ksp.sk/~kuko/gnarley-trees/ Scapegoat Tree Applet by Kubo Kovac]