Изменения
→Структура вершины n
'''Scapegoat-tree''' {{---}} сбалансированное [[Дерево поиска, наивная реализация | двоичное дерево поиска]], обеспечивающее наихудшее время поиска {{---}} <tex>O(\log N)</tex>, и амортизирующее время вставки и удаления элемента {{---}} <tex>O(\log N)</tex>.
В отличие от большинства других самобалансирующихся бинарных деревьев поиска, которые обеспечивают худшем случае <tex>O(\log N)</tex> время поиска, Scapegoat деревья не требуют дополнительной памяти в узлах по сравнению с обычным двоичным деревом поиска: узел хранит только ключ и два указателя на своих потомков.
<tex>\mathtt{root[T]}</tex> — корень дерева <tex>T</tex>,
<tex>\mathtt{left[x]}</tex> — левый сын вершины <tex>x</tex>, <tex>\mathtt{right[x]}</tex> — правый сын вершины <tex>x</tex>, <tex>\mathtt{brother(x)}</tex> — брат вершины <tex>x</tex> (вершина, которая имеет с <tex>x</tex> общего родителя), <tex>\mathtt{depth(x)}</tex> — глубина вершины <tex>x</tex> (количество рёбер от нее до корня), <tex>\mathtt{height(T)}</tex> — глубина дерева <tex>T</tex> (глубина самой глубокой вершины дерева <tex>T</tex>), <tex>\mathtt{weight(x)}</tex> — вес вершины <tex>x</tex> (количество всех её дочерних вершин плюс <tex>1</tex> {{---}} она сама), <tex>\mathtt{weight[T]}</tex> — размер дерева <tex>T</tex> (количество вершин в нём), <tex>\mathtt{maxweight[T]}</tex> — максимальный размер дерева (максимальное значение, которое параметр <tex>\mathtt{weight[T]}</tex> принимал с момента последней перебалансировки, то есть если перебалансировка произошла только что, то <tex>\mathtt{maxweight[T]} == Операции ==\mathtt{weight[T]}</tex>
Синим цветом обозначены '''глубины''' вершин, а красным {{- --}} их '''веса'''.Считается вес вершины следующим образом: для новой вершины вес = равен <tex>1</tex>. Для её родителя вес <tex>\mathtt{weight} = 1 </tex> (вес новой вершины) <tex>+ 1 </tex> (вес самого родителя) + <tex>+ \mathtt{weight(brother(x))}</tex>.
Возникает вопрос {{---}} как посчитать <tex>\mathtt{weight(brother(x))}</tex>? Делается это рекурсивно. Это займёт время <tex>O\mathtt{(weight(brother(x)))}</tex>. Понимая, что в худшем случае придётся посчитать вес половины дерева — здесь появляется та самая сложность <tex>O(N)</tex> в худшем случае, о которой говорилось в начале. Но поскольку совершается обход поддерева <tex>\alpha</tex>-сбалансированного по весу дерева можно показать, что амортизированная сложность операции не превысит <tex>O(\log N)</tex>.
В данном Scapegoat-дереве <tex>weight[T] = 4</tex>, <tex>\mathtt{maxweight[T]} \geqslant 4</tex>
Коэффициeнт <tex>\alpha</tex> — это число в диапазоне от <tex>[0.5; 1)</tex>, определяющее требуемую степень качества балансировки дерева.
{{Определение
|definition=Некоторая вершина <tex>x</tex> называется '''α <tex>\alpha</tex>- сбалансированной по весу''', если <tex>\mathtt{weight(left[x])} \leqslant \alpha \cdot \mathtt{weight(x)}</tex> и <tex>\mathtt{weight(right[x])} \leqslant \alpha \cdot size\mathtt{weight(x)}</tex>.}} Перед тем как приступить к работе с деревом, выбирается параметр <tex>\alpha</tex> в диапазоне <tex>[0.5; 1)</tex>. Также нужно завести две переменные для хранения текущих значений <tex>\mathtt {weight[T]}</tex> и <tex>\mathtt{maxweight[T]}</tex> и обнулить их. === Структура вершины ===
'''struct''' Node:
'''T''' key <font color=green> //значение в вершине </font>
'''Node''' left <font color=green> //левый ребенок вершины </font>
'''Node''' right <font color=green> //правый ребенок вершины </font>
'''Node''' height <font color=green> //высота поддерева данной вершины </font>
'''Node''' depth <font color=green> //глубина вершины </font>
'''Node''' parent <font color=green> //ссылка на родителя </font>
'''Node''' sibling <font color=green> //ссылки на "братьев" данной вершины </font>
=== Поиск элемента ===
Пусть требуется найти в данном Scapegoat дереве какой-то элемент. Применим стандартный алгоритм для двоичного дерева поиска - идем от корняПоиск происходит так же, если значение как и в вершине равно значению искомого элементаобычном дереве поиска, возвращаемпоскольку не меняет дерево, если значение в вершине меньше, то рекурсивно запускаемся от левого поддерева, если больше, тоно его время работы составляет <tex>O(\log_\frac{1}{\alpha} (N))</tex>. Таким образом, соответственносложность получается логарифмическая, от левого.'''Замечание:но!''' Дерево по ходу При <tex>\alpha</tex> близком к <tex>0.5</tex> мы получаем двоичный (или почти двоичный) логарифм, что означает практически идеальную скорость поиска искомой вершины ''не изменяется''.Сложность операции поиска зависит от коэффициента При <tex>\alpha</tex> и выражается формулой близком к единице основание логарифма стремится к единице, а значит общая сложность стремится к <tex>O(N)</tex>. *<tex>root</tex> {{---}} корень дерева или поддерева, в котором происходит поиск.*<tex>k</tex>\log_\frac{1{---}{\alpha} искомый ключ в дереве. '''Search'''(Nroot, k): '''if ''' root = <tex>\varnothing</tex>or root.key = k: '''return ''' root '''else if ''' k <tex>\leqslant</tex> root.left.key: '''return ''' Search(root.left, k) '''else''': '''return ''' Search(root.right, k)
=== Вставка элемента ===
Классический алгоритм вставки нового элемента: поиском ищем место, куда бы подвесить новую вершину, ну и подвешиваем. Легко понять, что это действие могло нарушить <tex>\alpha</tex>-балансировку по весу для одной или более вершин дерева. И вот теперь начинается то, что и дало название нашей структуре данных: требуется найти Scapegoat-вершину — вершину, для которой потерян <tex>\alpha</tex>-баланс и её поддерево должно быть перестроено. Сама только что вставленная вершина, хотя и виновата в потере баланса, Scapegoat-вершиной стать не может — у неё ещё нет потомков, а значит её баланс идеален. Соответственно, нужно пройти по дереву от этой вершины к корню, пересчитывая веса для каждой вершины по пути. Может возникнуть вопрос {{- --}} нужно ли хранить ссылки на родителей? Поскольку к месту вставки новой вершины пришли из корня дерева — есть стек, в котором находится весь путь от корня к новой вершине. Берутся родителей родители из него. Если на этом пути от нашей вершины к корню встретится вершина, для которой критерий <tex>\alpha</tex>-сбалансированности по весу нарушился — тогда полностью перестраивается соответствующее ей поддерево так, чтобы восстановить <tex>\alpha</tex>-сбалансированность по весу.
Сразу появляется вопрос {{---}} как делать перебалансировку найденной Scapegoat-вершины?
Есть <tex>2 </tex> способа перебалансировки, {{---}} тривиальный и чуть более сложный.
====Тривиальный способ перебалансировки====
# совершается обход всего поддерева Scapegoat-вершины (включая её саму) с помощью in-order обхода — на выходе получается отсортированный список (свойство In-order обхода бинарного дерева поиска).
# Для «левого» и «правого» поддерева рекурсивно повторяется та же операция.
Данный способ требует <tex>O\mathtt{(weight(Scapegoat-root))}</tex> времени и столько же памяти.
==== Получение списка ====
*<tex>root</tex> {{---}} корень дерева, которое будет преобразовано в список.
'''FlattenTree'''(root, head):
'''if''' root = <tex>\varnothing</tex>:
'''return''' head
root.right = FlattenTree(root.right, head)
'''return''' FlattenTree(root.left, root)
==== Построение дерева ====
*<tex>size</tex> {{---}} число вершин в списке.
*<tex>head</tex> {{---}} первая вершина в списке.
BuildHeightBalancedTree(size, head):
'''if''' size = 1 then:
return head
'''else if''' size = 2 then:
(head.right).left = head
'''return''' head.right
root = (BuildHeightBalancedTree(⌊(size − 1)/2⌋, head)).right
last = BuildHeightBalancedTree(⌊(size − 1)/2⌋, root.right)
root.left = head
'''return''' last
==== Перестроение дерева ====
*<tex>size</tex> {{---}} число вершин в поддереве.
*<tex>scapegoat</tex> {{---}} вершина, которая испортила баланс.
'''RebuildTree'''(size, scapegoat):
head = '''FlattenTree'''(scapegoat, <tex>\varnothing</tex>)
'''BuildHeightBalancedTree'''(size, head)
'''while''' head.parent <tex>\ne \varnothing </tex>
head = head.parent
'''return''' head
====Более сложный способ перебалансировки====
Время работы перебалансировки вряд ли улучшится — всё-таки каждую вершину нужно «подвесить» в новое место. Но можно попробовать сэкономить память. Давайте посмотрим на <tex>1 </tex> способ алгоритма внимательнее. Вот выбирается медиануВыбирается медиана, подвешивается в корень, дерево делится на два поддерева — и делится весьма однозначно. Никак нельзя выбрать «какую-то другую медиану» или подвесить «правое» поддерево вместо левого. Та же самая однозначность преследует и на каждом из следующих шагов. Т.е. То есть для некоторого списка вершин, отсортированных в возрастающем порядке, будет ровно одно порождённое данным алгоритмом дерево. А откуда же берется отсортированный список вершин? Из in-order обхода изначального дерева. То есть каждой вершине, найденной по ходу in-order обхода перебалансируемого дерева соответствует одна конкретная позиция в новом дереве. И можно эту позицию рассчитать и без создания самого отсортированного списка. А рассчитав — сразу её туда записать. Возникает только одна проблема — этим затирается какая-то (возможно ещё не просмотренная) вершина — что же делать? Хранить её. Где? Ответ прост: выделять для списка таких вершин память. Но этой памяти нужно будет уже не <tex>O(weight(N))</tex>, а всего лишь <tex>O(\log N)</tex>. Представьте себе в уме дерево, состоящее из трёх вершин — корня и двух подвешенных как «левые» сыновья вершин. In-order обход вернёт нам эти вершины в порядке от самой «глубокой» до корня, но хранить в отдельной памяти по ходу этого обхода нам придётся всего одну вершину (самую глубокую), поскольку когда мы придём во вторую вершину, мы уже будем знать, что это медиана и она будет корнем, а остальные две вершины — её детьми. То есть расход памяти здесь — на хранение одной вершины, что согласуется с верхней оценкой для дерева из трёх вершин — <tex>\log(3)</tex>.Таким образом, если нужно сэкономить память, то <tex>2</tex> способ перебалансировки дерева {{---}} лучший вариант. <center>{| cellpadding="0"| [[Файл:Good_insert_1.png|400px|thumb|Вставка без нарушения баланса 1]] || [[Файл:Good_insert_2.png|400px|thumb|Вставка без нарушения баланса 2]]|}{| cellpadding="0"|align="center"|[[Файл:Bad_insert.png|595px|thumb|Вставка с нарушением баланса. Вершина 5 стала Scapegoat, будет запущена перебалансировка]]|}</center> ====Псевдокод==== *<tex>n</tex> {{---}} узел дерева. Обычно, процедура вызывается от только что добавленной вершины. '''FindScapegoat'''(n): size = 1 height = 0 '''while''' n.parent <tex>\ne \varnothing</tex>: height = height + 1 totalSize = 1 + size + n.sibling.size() '''if''' height <tex> > \lfloor \log_\frac{1}{\alpha} (totalSize) \rfloor</tex>: '''return''' n.parent n = n.parent size = totalSize Сама вставка элемента: *<tex>k</tex> {{---}} ключ, который будет добавлен в дерево. '''Insert'''(k): height = InsertKey(k) '''if''' height = −1: '''return''' false; '''else if''' height > T.hα: scapegoat = '''FindScapegoat'''(Search(T.root, k)) '''RebuildTree'''(n.size(), scapegoat) '''return''' true
=== Удаление элемента ===
Удаляется элемент из дерева обычным удалением вершины бинарного дерева поиска (поиск элемента, удаление, возможное переподвешивание детей).
Далее следует проверка выполнения условия:
:<tex>\mathtt {weight[T] } < \alpha \cdot \mathtt {maxweight[T]}</tex>;Если оно выполняется — дерево могло потерять <tex>\alpha</tex> - балансировку по весу, а значит нужно выполнить полную перебалансировку дерева (начиная с корня) и присвоить::<tex>\mathtt {maxweight[T]} = \mathtt {weight[T]}</tex>;
====Псевдокод====
Функция <tex>Delete(k)</tex> удаляет элемент, аналогично удалению в бинарном дереве, и возвращает глубину удаленного элемента.
*<tex>k</tex> {{---}} ключ, который будет удален.
'''Delete'''(k):
deleted = '''DeleteKey'''(k)
'''if''' deleted:
'''if''' T.size < (T.α · T.maxSize):
'''RebuildTree'''(T.size, T.root)
==Сравнение с другими деревьями==
===Достоинства Scapegoat дерева===
* По сравнению с такими структурами, как [[Красно-черное дерево]], [[АВЛ-дерево]] и [[Декартово дерево]], нет необходимости хранить какие-либо дополнительные данные в вершинах(а значит появляется выигрыш по памяти).
* Отсутствие необходимости перебалансировать дерево при операции поиска (а значит гарантируется максимальное время поиска <tex>O(\log N)</tex>, в отличии от структуры данных [[Splay-дерево]], где гарантируется только амортизированное <tex>O(\log N)</tex>)
* При построении дерева выбирается некоторый коэффициент <tex>\alpha</tex>, который позволяет улучшать дерево, делая операции поиска более быстрыми за счет замедления операций модификации или наоборот. Можно реализовать структуру данных, а дальше уже подбирать коэффициент по результатам тестов на реальных данных и специфики использования дерева.
* В худшем случае операции модификации дерева могут занять <tex>O(N)</tex> времени (амортизированная сложность у них по-прежнему <tex>O(\log N)</tex>, но защиты от плохих случаев нет).
* Можно неправильно оценить частоту разных операций с деревом и ошибиться с выбором коэффициента <tex>\alpha</tex> — в результате часто используемые операции будут работать долго, а редко используемые — быстро, что не очень хорошо.
==См. также==
* [[Поисковые структуры данных]]
*[https://habrahabr.ru/company/infopulse/blog/246759/ Хабрахабр - Scapegoat деревья]<br>
*[https://people.ksp.sk/~kuko/gnarley-trees/ Scapegoat Tree Applet by Kubo Kovac]
[[Категория: Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория: Деревья поиска]]
