1679
правок
Изменения
Нет описания правки
1) <tex> \mu^* (\varnothing) = 0 </tex>
2) Для <tex> A \subset \bigcup\limits_{n} limits_n A_n </tex> выполняется <tex> \mu^*(A) \le \sum\limits_{n} \mu^*(A_n) </tex> (сигма-полуаддитивность)
}}
1) <tex> \varnothing \in \mathcal R </tex> по аксиомам полукольца, <tex> m(\varnothing) = 0 </tex> по аксиомам меры. <tex> \varnothing \subset \varnothing </tex>, то есть <tex> \varnothing </tex> является наименьшим покрытием <tex> \varnothing </tex>, и <tex> \mu^*(\varnothing) = 0 </tex>.
2) Пусть <tex> A \subset \bigcup\limits{n} limits_n A_n, A, A_n \subset X </tex>.
Возможны различные варианты:
а) Хотя бы одно из множеств <tex> A_n </tex> не покрывается элементами полукольца(пусть <tex> A_{n_0} </tex>). Тогда <tex> \mu^*(A_{n_0}) = + \infty </tex>, и требуемое неравенство всегда верно и ужасно тривиально.
б) Все <tex> A_n </tex> покрываются элементами полукольца. Тогда для любого <tex> n\ \mu^*(A_n) = \inf\limitslimits_{A_n \subset \bigcup\limits_{p} E_{n_p}} \sum\limits_{p} m(E_{n_p}) </tex>, где все <tex> E_{n_p} </tex> принадлежат полукольцу.
Если внешняя мера хотя бы одного из множеств <tex> A_n </tex> равна <tex> + \infty </tex>, то неравенство опять всегда верно.
