Встречное дерево Фенвика

Определение:

Встречное дерево Фенвика (англ. counter tree Fenwick) — дерево Фенвика, в котором над каждым столбцом идет столбец такой же высоты, вычисляемый по формуле [math]F'(i) = \sum\limits_{j=i+1}^{i+2^{h(i)}} a[j][/math].

Вспомним, что [math]h(i)[/math] возвращает количество единиц в двоичной записи числа [math]i[/math], а каждый столбец прямого дерева Фенвика вычисляется по формуле [math]F(i) = \sum\limits_{j=i-2^{h(i)}+1}^i a[j][/math]

Любой отрезок в виде дизъюнктивных объединений отрезков

Прямое дерево Фенвика

Встречное дерево Фенвика

Докажем, что можно представить любой отрезок в виде дизъюнктивных объединений [math]O(\log N)[/math] отрезков, взятых из прямого и встречного дерева Фенвика.

Представим встречное дерево Фенвика [math]2^n[/math] на [math]2^n[/math] и посмотрим на него, как на дерево отрезков.

В нем существует отрезок [math][1..2^n][/math]. Оставшуюся часть можно разбить на 2 поддерева, т.е. отрезок [math](1..n)[/math] разбивается на подотрезки [math](1..n/2)[/math], [math](n/2+1..n)[/math]. В итоге получается структура обычного дерева отрезков, для которого известно указанное выше утверждение.

Стоит отметить, что поддерево для [math](n/2+1..n)[/math] получается "перевернутым" из-за того, что встречное дерево, по сути, идет от [math]n-1[/math] до [math]1[/math] в обратном порядке.

Свойства

• Встречное дерево Фенвика позволяет вычислять значение некоторой операции [math]G[/math] на любом отрезке [math][L; R][/math] за время [math]O(\log N)[/math];

• Такое дерево позволяет изменять значение любого элемента за [math]O(\log N)[/math];

• Встречное дерево Фенвика требует [math]O (N)[/math] памяти, а точнее, ровно столько же, сколько и массив из [math]2N[/math] элементов;

• Данная структура данных легко обобщается на случай многомерных массивов.

• Такое дерево Фенвика позволяет представить любой отрезок [math][L; R][/math] в виде дизъюнктивных объединений отрезков, взятых из прямого и встречного дерева Фенвика.

Применение

Встречное дерево Фенвика применяется, когда нужно посчитать некоторую операцию на структуре без использования обратного элемента по этой операции. Например, перед нами стоит задача посчитать произведение, не считая обратных. С помощью встречного дерева Фенвика можно разложить запрос произведения на отрезке на [math]O(\log N)[/math] дизъюнктных отрезков, операция для которых уже посчитана, получается почти как в дереве отрезков.

См. также

• Дерево Фенвика

• Дерево отрезков

Источники информации

• Wikipedia — Fenwick_tree Fenwick tree
• Maximal:: algo:: Дерево Фенвика