146
правок
Изменения
Нет описания правки
{{Определение
|definition=
'''Встречное дерево Фенвика''' (англ. ''counter tree Fenwick'') — [[Дерево Фенвика|дерево Фенвика]], в котором над каждым столбцом идет столбец такой же высоты, вычисляемый по формуле <tex>F'(i) = \sum\limits_{j=i+1}^{i+2^{h(i)}} a[j]</tex>.
}}
[[Файл:Originalbit.png|thumb|Прямое дерево Фенвика]]
[[Файл:Vstbit.png|thumb|Встречное дерево Фенвика]]
Вспомним, что <tex>h(i)</tex> возвращает количество подряд идущих единиц в конце двоичной записи числа <tex>i</tex>, а каждый столбец прямого дерева Фенвика вычисляется по формуле <tex>F(i) = \sum\limits_{j = i - 2^{h(i)} + 1}^i a[j]</tex>.
<tex>i + 2^{h(i)}</tex> можно считать по равносильной формуле <tex> i \mid (i + 1) </tex>. Рассмотрим, что делают эти формулы с двоичной записью числа <tex>i</tex>. Формула <tex>i + 2^{h(i)}</tex> изменяет последний ноль на единицу. Аналогично работает и <tex> i \mid (i + 1) </tex>.
{| style="background-color:#CCC;margin:0.5px"
|style="background-color:#EEE;padding:2px 30px"| <tex>i</tex>
|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex>\ldots 011 \ldots 1</tex>
|-
|style="background-color:#EEE;padding:2px 30px"| <tex>2^{h(i)}</tex>
|style="background-color:#FFF;padding:2px 50px"| <tex> 100 \ldots 0</tex>
|-
|style="background-color:#EEE;padding:2px 30px"| <tex>i + 2^{h(i)}</tex>
|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex>\ldots 111 \ldots 1</tex>
|}
== Представление отрезка ==
{{Теорема
|statement=Любой отрезок можно представить в виде дизъюнктивных объединений <tex>O(\log N)</tex> отрезков, взятых из прямого и встречного дерева Фенвика.
|proof=
Представим встречное дерево Фенвика <tex>2^n</tex> на <tex>2^n</tex> и посмотрим на него, как на дерево отрезков.
В нем существует отрезок <tex>[1..2^n]</tex>. Оставшуюся часть можно разбить на <tex>2 </tex> поддерева, т.е. отрезок <tex>(1..n)</tex> разбивается на подотрезки <tex>(1..\dfrac {n/}{2})</tex>, <tex>(\dfrac{n/}{2} +1..n)</tex>. В итоге получается структура обычного [[Дерево отрезков. Построение|дерева отрезков]], для которого известно указанное выше утверждение. Стоит отметить, что поддерево для <tex>(n/2+1..n)</tex> получается "перевернутым" из-за того, что встречное дерево, по сути, идет от <tex>n-1</tex> до <tex>1</tex> в обратном порядке.
Стоит отметить, что поддерево для <tex>(\dfrac{n}{2} + 1..n)</tex> получается "перевернутым" из-за того, что встречное дерево, по сути, идет от <tex>n - 1</tex> до <tex>1</tex> в обратном порядке.
}}
== Свойства ==
== Применение ==
Встречное дерево Фенвика применяется, когда нужно посчитать некоторую операцию на структуре без использования обратного элемента по этой операции. Например, перед нами стоит задача посчитать произведение. Используя дерева Фенвика, мы можем столкнуться с такой ситуацией: элемент <tex>a[i] = 0</tex>. Тогда, не считая обратныхпроизведение на отрезке <tex>[l, r]</tex> (где <tex>l > i</tex>) как произведение на отрезке <tex>[0, r]</tex>, делённое на произведение на отрезке <tex>[0, l - 1]</tex>, мы получим неопределённое значение <tex>\dfrac{0}{0}</tex>, поэтому нужно использовать встречное дерево Фенвика. С его помощью встречного дерева Фенвика можно разложить запрос произведения на отрезке на <tex>O(\log N)</tex> дизъюнктных отрезков, операция для которых уже посчитана, получается почти как в дереве отрезков.
==См. также==
* [[Дерево Фенвика]]
== Источники информации ==
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Fenwick_tree Wikipedia — Fenwick_tree Fenwick tree]
* [http://e-maxx.ru/algo/fenwick_tree Maximal:: algo:: Дерево Фенвика]
