Редактирование: Выброс

[[Файл:Outlier_boxplot.png|upright=1.0|thumb|Рис 1.График boxplot населения регионов России в 1990 году, где можно заметить 5 выбросов]]
'''Выброс''' (англ. ''outlier'') {{---}} это экстремальные значения во входных данных, которые находятся далеко за пределами других наблюдений. Например, все предметы на кухне имеют температуру около 22-25 грудусов Цельсия, а {{---}} духовка 220. 

Многие алгоритмы машинного обучения чувствительны к разбросу и распределению значений признаков обрабатываемых объектов. Соответственно, выбросы во входных данных могут исказить и ввести в заблуждение процесс обучения алгоритмов машинного обучения, что приводит к увеличению времени обучения, снижению точности моделей и, в конечном итоге, к снижению результатов. Даже до подготовки предсказательных моделей на основе обучающих данных выбросы могут приводить к ошибочным представлениям и в дальнейшем к ошибочной интерпретации собранных данных.
===Виды выбросов===
На основе размерности изучаемого массива данных выбросы подразделяют на одномерные и многомерные.
;Одномерные выбросы
:Точка является выбросом только по одной из своих координат.
;Многомерные выбросы
:Точка является выбросом сразу по нескольким координатам.

Другой подход классификации выбросов {{---}} по их окружению.
;Точечные выбросы
:Единичные точки, выбивающиеся из общей картины. Точечные аномалии часто используются в системах контроля транзакций для выявления мошенничества, например, когда с украденной карты совершается крупная покупка.
;Контекстуальные выбросы
:Для того, чтобы определить, является ли точка выбросом необходим контекст. Например, в Петербурге +15 градусов Цельсия. Зимой такая температура является выбросом, а летом нет. 
;Коллективные выбросы
:Здесь выбросом является не точка, а группа точек. Примером таких выбросов могут служить, например, задержки поставок на фабрике. Одна задержка не является выбросом. Но если их много, значит это может стать проблемой.

===Причины возникновения выбросов===
* Сбой работы оборудования;
* Человеческий фактор;
* Случайность;
* Уникальные явления;
* и др.
==Примеры==
{|align="center"
 |-valign="top"
 |[[Файл:Outlier_norm.png|200px|thumb|Рис 2. Хорошо обученная модель с выбросами]]
 |[[Файл:Outlier_bad.png|200px|thumb|Рис 3. Переобученная модель на выбросах]]
 |}
Рис 2 показывает хорошо обученную модель, в которой присутствуют два выброса. Как видно из рисунка данная модель показала себя устойчивой к выбросам, либо же вовремя прекратила своё обучение. Обратная ситуация обстоит с Рис 3, где модель сильно переобучилась из-за присутствующих в ней выбросов. 
==Методы обнаружения и борьбы с выбросами== 
===Методы обнаружения выбросов===
[[Файл:Outlier_normal_distribution.png|upright=1.0|thumb|[http://work.thaslwanter.at/Stats/html/statsDistributions.html Рис 4. Так как t-распределение имеет более длинный хвост, нежели у нормального распределения, поэтому t-распределение менее чувствительно к выбросам.]]]
# Экстремальный анализ данных(англ. ''extreme value analysis''). При таком анализе не применяются какие-либо специальные статистические методы. Обычно этот метод применим для одномерного случая. Алгоритм использования таков:
#* Визуализировать данные, используя диаграммы и гистограммы для нахождения экстремальных значений; 
#* Задействовать распределение, например Гауссовское, и найти значения, чье стандартное отклонение отличается в 2-3 раза от математического ожидания или в полтора раза от первой либо третьей квартилей; 
#* Отфильтровать предполагаемые выбросы из обучающей выборки и оценить работу модели;
# Аппроксимирующий метод (англ. ''proximity method''). Чуть более сложный метод, заключающийся в применении кластеризующих методов;
#* Использовать метод кластеризации для определения кластеров в данных;
#* Идентифицировать и отметить центроиды каждого кластера;
#* Соотнести кластеры с экземплярами данных, находящимися на фиксированном расстоянии или на процентном удалении от центроида соответствующего кластера;
#* Отфильтровать предполагаемые выбросы из обучающей выборки и оценить работу модели;
# Проецирующие методы (англ. ''projections methods''). Эти методы довольно быстро и просто определяют выбросы в выборке; 
#* Использовать один из проецирующих методов, например, метод главных компонент (англ. ''principal component analysis'', ''PCA''<ref>[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%B5%D1%82%D0%BE%D0%B4_%D0%B3%D0%BB%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D1%8B%D1%85_%D0%BA%D0%BE%D0%BC%D0%BF%D0%BE%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D1%82 Метод главных компонент]</ref>) или самоорганизующиеся карты Кохонена(англ. ''self-organizing map'', ''SOM''<ref>[https://habr.com/post/338868/ Самоорганизующиеся карты Кохонена]</ref>) или проекцию Саммона(англ. ''Sammon mapping'', ''Sammon projection''<ref>[https://en.wikipedia.org/wiki/Sammon_mapping Проекция Саммона]</ref>), для суммирования обучающих данных в двух измерениях;
#* Визуализировать отображение;
#* Использовать критерий близости от проецируемых значений или от вектора таблицы кодирования (англ. ''codebook vector'') для идентифицирования выбросов;
#* Отфильтровать предполагаемые выбросы из обучающей выборки и оценить работу модели.

===Локально взвешенное сглаживание===
Локально взвешенное сглаживание (англ. ''LOcally WEighted Scatter plot Smoothing'', ''LOWESS'')<ref>[http://www.aliquote.org/cours/2012_biomed/biblio/Cleveland1979.pdf Локально взвешенное сглаживание]</ref>. Данная методика была предложена Кливлендом (Cleveland) в 1979 году для моделирования и сглаживания двумерных данных <math>X^m={(x_i, y_i)}_{i=1}^m</math>. Эта техника предоставляет общий и гибкий подход для приближения двумерных данных. Локально-линейная модель может быть записана в виде: <math>y_t=\alpha_t+\beta_t x_t + \varepsilon_t</math>. Эта модель может быть расширена на случай локально-квадратичной зависимости и на модель с большим числом независимых переменных. Параметры <math>\alpha_t</math> и <math>\beta_t</math> локально линейной модели оцениваются с помощью локально взвешенной регрессии, которая присваивает объекту тем больший вес, чем более близок он к объекту t. Степень сглаживания определяется параметром сглаживания <math>f</math>, который выбирает пользователь. Параметр <math>f</math> указывает какая доля (англ. ''fraction'') данных используется в процедуре. Если <math>f = 0.5</math>, то только половина данных используется для оценки и влияет на результат, и тогда мы получим умеренное сглаживание. С другой стороны, если <math>f = 0.8</math>, то используются восемьдесят процентов данных, и сглаживание намного сильнее. Во всех случаях веса данных тем больше, чем они ближе к объекту <math>t</math>.
====Постановка задачи====
Пусть задано пространство объектов $X$ и множество возможных ответов <math>Y = \mathbb{R}</math>. Существует неизвестная зависимость <math>y^*\colon X \to Y</math>, значения которой известны только на объектах обучающией выборки <math>X^l = (x_i\ ,\ y_i)^l_{i=1},\ y_i = y^*(x_i)</math>. Требуется построить алгоритм <math>a\colon X\to Y</math>, аппроксимирующий неизвестную зависимость <math>y^*</math>. Предполагается, что на множестве $X$ задана метрика <math>\rho(x,x')</math>.

Также стоит определить следующее. Для вычисления <math>a(x) = \alpha</math> для <math>\forall x \in X</math> воспользуемся методом наименьших квадратов:
<math>Q(\alpha;X^l) = \sum_{i=1}^l \omega_i(x)(\alpha-y_i)^2 \rightarrow \underset{\alpha \in \mathbb{R}}{min}</math>, где <math>\omega_i</math> {{---}} это вес $i$-ого объекта. 

Веса <math>\omega_i</math> разумно задать так, чтобы они убывали по мере увеличения расстояния <math>\rho(x,x_i)</math>. Для этого можно ввести невозрастающую, гладкую, ограниченную функцию <math>K:[0, \infty) \rightarrow [0, \infty)</math>, называемую [[Ядра|ядром]]<sup>[на 28.01.19 не создан]</sup>, и представить <math>\omega_i</math> в следующем виде:


<math>\omega_i(x) = K\left(\frac{\rho(x,x_i)}{h} \right )</math>, где $h$ {{---}} ширина окна.


Приравняв равной нулю производную <math>\frac{\partial Q}{\partial \alpha} = 0</math> и выразив <math>\alpha</math>, получаем ''формулу Надарая-Ватсона''<ref>[http://www.machinelearning.ru/wiki/index.php?title=%D0%9E%D1%86%D0%B5%D0%BD%D0%BA%D0%B0_%D0%9D%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%80%D0%B0%D1%8F-%D0%92%D0%B0%D1%82%D1%81%D0%BE%D0%BD%D0%B0 Формула Надарая-Ватсона]</ref> :
<math>a_h(x;X^l) = \frac{\sum_{i=1}^{l} y_i\omega_i(x)}{\sum_{i=1}^{l} \omega_i(x)} = \frac{\sum_{i=1}^{l} y_iK\left(\frac{\rho(x,x_i)}{h} \right )}{\sum_{i=1}^{l} K\left(\frac{\rho(x,x_i)}{h} \right )}</math>.

====Проблема выбросов в этой задаче====
Большие случайные ошибки в значениях <math>y_i</math> сильно искажают оценку Надарая-Ватсона.

====Идея====
Чем больше величина невязки <math>\varepsilon_i = \left | a_h\left (x_i;X^\ell\backslash\left \{x_i\right \} \right )-y_i\right |</math>, тем меньше должен быть вес i-го объекта <math>\omega_i(x)</math>.
====Эвристика====
Домножить веса <math>\omega_i(x)</math> на коэффициенты <math>\gamma_i = \widetilde{K}\left ( \varepsilon_i \right )</math>, где <math>\widetilde{K}\left ( \varepsilon \right )</math> — ещё одно ядро, вообще говоря, отличное от <math>K\left ( \rho \right )</math>.

====Псевдокод====
 INPUT: <math>X^\ell</math> - training sample;
 OUTPUT: coefficents <math>\gamma_i, i = 1,...,\ell</math>;
 ________________________________________________________
 1: initialization: <math>\gamma_i := 1, i = 1,...,\ell</math>; <span style="color:green">//инициализация коэффициентов</span>
 2: do
 3:   for each object <math>i = 1,...,\ell</math>;
 4:     calculate cross-validation estimates: <span style="color:green">//вычислить оценки скользящего контроля</span>
        <math>a_i := a_h(x_i;X^\ell\setminus{x_i}) = \frac{\sum\limits^{\ell}_{j=1,j\ne i} {y_j\gamma_j K \left ( \tfrac{\rho\left (x_i,x_j \right )}{h\left (x_i \right)} \right )}}{\sum\limits^{\ell}_{j=1,j\ne i}{\gamma_j K\left(\tfrac{\rho\left (x_i,x_j \right )}{h\left (x_i\right )}\right )} }</math>
 5:   for each object <math>i = 1,...,\ell</math>;
 6:     <math>\gamma_i := \widetilde{K}\left (\left | a_i-y_i \right | \right );</math>
 7: while coefficents <math>\gamma_i</math> not stabilized; <span style="color:green">//пока коэффициенты не стабилизируются</span>

====Пример на языке R==== 
В этом примере мы попытаемся локально регрессировать и сгладить среднюю продолжительность безработицы на основе набора экономических данных из пакета $ggplot2$ языка $R$. Мы рассматриваем только первые 80 строк для этого анализа, чтобы легче было наблюдать степень сглаживания на приведенных ниже графиках.<br>
 data(economics, package="ggplot2")      <span style="color:green"># загрузка данных</span>
 economics$index <- 1:nrow(economics)    <span style="color:green"># создание индексной переменной</span>
 economics <- economics[1:80, ]          <span style="color:green"># усечение до 80 строк для более наглядного демонстрирования</span>
 loessMod10 <- loess(uempmed ~ index, data=economics, span=0.10) <span style="color:green"># 10% параметр сглаживания span</span>
 loessMod25 <- loess(uempmed ~ index, data=economics, span=0.25) <span style="color:green"># 25% параметр сглаживания span</span>
 loessMod50 <- loess(uempmed ~ index, data=economics, span=0.50) <span style="color:green"># 50% параметр сглаживания span</span>

 <span style="color:green"># получить сглаженный результат</span>
 smoothed10 <- predict(loessMod10) 
 smoothed25 <- predict(loessMod25) 
 smoothed50 <- predict(loessMod50)

 <span style="color:green"># Нарисовать</span>
 plot(economics''$''uempmed, x=economics''$''date, type="l", main="Локально взвешенное сглаживание", xlab="Дата", ylab="Длительность безработицы")
 lines(smoothed10, x=economics''$''date, col="red")
 lines(smoothed25, x=economics''$''date, col="green")
 lines(smoothed50, x=economics''$''date, col="blue")
{|align="center"
 |-valign="top"
 |[[Файл:LOWESS.png|400px|thumb|Рис 5. На приведенном графике показано, что чем больше параметр сглаживания span, тем более сглаженной выглядит восстановленная регрессия]]
 |}

===Другие алгоритмы борьбы с выбросами===
В статистике методы, устойчивые к нарушениям модельных предположений о данных, называются ''робастными''. Метод локально взвешенного сглаживания относится к ''робастным'' методам, так как он устойчив к наличию небольшого количества выбросов. 
* [[Дерево решений и случайный лес|Дерево принятия решения]] (англ. ''decision tree''<ref>[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%B2%D0%BE_%D1%80%D0%B5%D1%88%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B9 Дерево принятия решения]</ref>). Это дерево, как и уже описанный алгоритм локально взвешенного сглаживания, относится к ''робастным'' методам;
* [[Вариации регрессии|Робастная регрессия]] (англ. ''robust regression''<ref>[https://en.wikipedia.org/wiki/Robust_regression Робастная регрессия]</ref>). В отличие от регрессии, использующей, например, метод наименьших квадратов, в этом алгоритме не строится идеализированное предположение, что вектор ошибок <math>\varepsilon</math> распределен согласно нормальному закону. Однако на практике зачастую имеют место отклонения от этого предположения. Тогда можно применить метод наименьших модулей (англ. ''Least Absolute Deviation, LAD ''<ref>[https://en.wikipedia.org/wiki/Least_absolute_deviations Метод наименьших модулей]</ref>) в случае, если распределение ошибок измерений подчиняется распределению Лапласа (англ. Laplace distribution <ref>[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A0%D0%B0%D1%81%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%9B%D0%B0%D0%BF%D0%BB%D0%B0%D1%81%D0%B0 Распределение Лапласа]</ref>).

==См.также==
* [[Общие понятия]]
* [[Переобучение]]
* [[Дерево решений и случайный лес]]

==Примечания==
<references/>
==Источники информации==
# https://machinelearningmastery.com/how-to-identify-outliers-in-your-data/
# https://ru.coursera.org/lecture/vvedenie-mashinnoe-obuchenie/obnaruzhieniie-vybrosov-t9PG4
[[Категория: Машинное обучение]]
[[Категория: Статистика]]