Вычисление порядка перестановки в группе перестановок — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
м
м
 
Строка 9: Строка 9:
 
{{Теорема
 
{{Теорема
 
|id=th4
 
|id=th4
|about=О порядке перестановке НОК
+
|about=О порядке перестановки, НОК
 
|statement=
 
|statement=
 
Порядок перестановки равен НОК длин всех её независимых циклов.
 
Порядок перестановки равен НОК длин всех её независимых циклов.

Текущая версия на 23:21, 11 января 2013

Для нахождения порядка перестановки достаточно разложить её в произведение независимых циклов (циклических перестановок). Тогда порядок перестановки будет равен НОК длин всех циклов.

Лемма:
Для того, чтобы перестановка при возведении в степень перешла сама в себя, необходимо и достаточно, чтобы каждый цикл был пройден целое число раз.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
Для того, чтобы при перестановка при возведении в степень перешла сама в себя, необходимо и достаточно, чтобы любой ее элемент перешел сам в себя, что равносильно тому, что цикл, в который он входит, пройден целое число раз (если пройден не целое, то элемент не перейдет сам в себя)
[math]\triangleleft[/math]
Теорема (О порядке перестановки, НОК):
Порядок перестановки равен НОК длин всех её независимых циклов.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
Поскольку при умножении на себя каждый цикл сдвигается на 1, то для того, чтобы перестановка перешла сама в себя, необходимо и достаточно, в силу леммы, чтобы степень перестановки делилась на все длины циклов. Минимальным таким числом является НОК длин циклов.
[math]\triangleleft[/math]