36
правок
Изменения
Нет описания правки
== Основные определения ==
{{Определение
|definition = Функция <tex>f : N \rightarrow N \cup \lbrace \bot \rbrace</tex> называется '''вычислимой'''(англ. ''computable function''), если существует программа, вычисляющая функцию <tex>f</tex>, такая, что:
* если <tex>f(n)</tex> определено для натурального числа <tex>n</tex>, то программа завершает свою работу на входе <tex>n</tex> и выводит <tex>f(n)</tex>;
* если <tex>f(n)</tex> не определено, то программа зависает на входе <tex>n</tex>.
{{Определение
|definition = Функция <tex>f : N \rightarrow N \cup \lbrace \bot \rbrace</tex> называется '''вычислимой''', если её график <tex>F = \lbrace \langle x, y\rangle | \mid f(x)</tex> определено и равно <tex>y \rbrace</tex> является [[Перечислимые_языки|перечислимым]] множеством пар натуральных чисел.
}}
{{Теорема
|statement = Приведенные определения эквивалентны.
|proof = <tex>\Rightarrow </tex><br/>.
Напишем полуразрешающую программу для множества <tex>F</tex>.
<tex>p(\langle x, y\rangle):</tex>
'''for''' <tex>a \in D(f)</tex>
'''if''' <tex>a == x \land f(a) == y</tex>
'''return''' 1
Так как [[Вычислимые функции#Свойства вычислимой функции|область определения вычислимой функции перечислима]], то можно перебрать элементы области определения. Если алгоритм нашел нужную нам пару, то вернуть 1.<br/>
<tex>\Leftarrow</tex><br/>
Напишем программу, вычисляющую функцию <tex>f</tex>.
<tex>f(n):</tex>
'''for''' <tex>\langle x, y \rangle \in F</tex>
'''if''' <tex>x == n</tex>
'''return''' <tex>y</tex>
Так как <tex>F</tex> {{---}} перечислимое множество, то можно перебрать элементы этого множества.
}}
=== Замечание ===
Входами и выходами программ могут быть не только натуральные числа, но и двоичные строки, пары натуральных чисел, конечные последовательности слов и многое другое. Поэтому аналогичным образом можно определить понятие вычислимой функции для счётных множеств.
=== Примеры вычислимых функций ===
* Нигде не определённая функция вычислима.
<tex>p(x):</tex>
'''while True'''
* <tex>f(x) = x^2</tex>, где <tex>x</tex> — рациональное число.
<tex>p(x):</tex>
'''return''' <tex>x^2</tex>
== Свойства вычислимой функции ==
{{Лемма
|id = lemma-
|statement = <tex>f</tex> {{---}} вычислимая функция, <tex>D(f)</tex> {{---}} область определения функции <tex>f</tex>. Тогда <tex>D(f)</tex> является перечислимым множеством.
|proof =
Для доказательства достаточно написать полуразрешающую программу.
<tex>p(x):</tex>
<tex>f(x)</tex>
'''return''' 1
Если функция <tex>f</tex> определена на входе <tex>x</tex>, то <tex>x \in D(f)</tex>. Тогда необходимо вернуть 1. Иначе программа зависнет при вызове <tex>f(x)</tex>.
}}
{{Лемма
|id = lemma-
|statement = <tex>f</tex> {{---}} вычислимая функция, <tex>E(f)</tex> {{---}} область значений <tex>f</tex>. Тогда <tex>E(f)</tex> является перечислимым множеством.
|proof =
Для доказательства достаточно написать полуразрешающую программу.
<tex>p(x):</tex>
'''for''' <tex>y \in D(f)</tex>
'''if''' <tex>x == f(y)</tex>
'''return''' 1
Так как <tex>D(f)</tex> перечислимо, то можно перебрать элементы этого множества. Если программа находит слово, то она возвращает 1.
}}
{{Лемма
|id = lemma-
|statement = <tex>f</tex> {{---}} вычислимая функция, <tex>X</tex> {{---}} перечислимое множество. Тогда <tex>f(X)</tex> является перечислимым множеством.
|proof =
Для доказательства достаточно написать полуразрешающую программу.
<tex>p(x):</tex>
'''for''' <tex>y \in D(f) \cap X</tex>
'''if''' <tex>x == f(y)</tex>
'''return''' 1
Из [[Замкнутость_разрешимых_и_перечислимых_языков_относительно_теоретико-множественных_и_алгебраических_операций|замкнутости перечислимых языков относительно операции пересечения]] следует, что элементы множества <tex>X \cap D(f)</tex> можно перебрать. Если программа находит слово, то она возвращает 1.
}}
{{Лемма
|id = lemma-
|statement = <tex>f</tex> {{---}} вычислимая функция, <tex>X</tex> {{---}} перечислимое множество. Тогда <tex>f^{-1}(X)</tex> является перечислимым множеством.
|proof =
Для доказательства достаточно написать полуразрешающую программу.
<tex>p(x):</tex>
'''if''' <tex>f(x) \in X</tex>
'''return''' 1
На проверке условия <tex>f(x) \in X</tex> программа может зависнут, если <tex>f(x)</tex> не определено или <tex>f(x) \notin X</tex>. Если <tex>f(x)</tex> не определено, то <tex>x \notin f^{-1}(X)</tex>. Условие <tex>f(x) \notin X</tex> можно проверить, так как <tex>X</tex> перечислимо.
}}
== Характеристика перечислимых множеств через вычислимые функции ==
{{Определение
|definition='''Множество <tex>X</tex> называется перечислимым''' (англ. ''computably enumerable set''), если выполняется хотя бы одно из условий:
# существует программа, перечисляющая все элементы <tex>X</tex> в произвольном порядке;
# <tex>X</tex> является областью определения [[Вычислимые функции|вычиcлимой функции]] <tex>f</tex>;
# <tex>X</tex> является областью значений вычиcлимой функции <tex>f</tex>;
# функция <tex>f_X(x) = \begin{cases}
1, & x \in X \\
\bot, & x \notin X
\end{cases}</tex> — вычислима.
}}
{{Теорема
|statement=
Определения ''1'', ''2'', ''3'', ''4'' эквивалентны.
|proof=
*<tex>1 \Rightarrow 4</tex>
Пусть <tex>p</tex> — программа, перечисляющая <tex>X</tex>.
Приведём программу <tex>q</tex>, вычисляющую функцию <tex>f_X(x)</tex>:
<tex>q(x):</tex>
'''for''' <tex>k = 1 \ .. \ \infty</tex>
'''if''' <tex> p(k) == x </tex>
'''return''' 1
*<tex>2 \Rightarrow 1</tex>
Пусть <tex>X</tex> — область определения вычислимой функции <tex>f</tex>, вычисляемой программой <tex>p</tex>.
Тогда <tex>X</tex> перечисляется такой программой:
<tex>q():</tex>
'''for''' <tex> TL = 1 \ .. \ \infty </tex>
'''for''' <tex> k = 1 \ ..\ TL</tex>
'''if''' <tex>p(k)|_{TL} \neq \bot </tex>
'''print''' <tex>k</tex>
*<tex>3 \Rightarrow 1</tex>
Пусть <tex>X</tex> — область значений вычислимой функции <tex>f</tex>, вычисляемой программой <tex>p</tex>.
Тогда <tex>X</tex> перечисляется такой программой:
<tex>q():</tex>
'''for''' <tex> TL = 1 \ .. \ \infty </tex>
'''for''' <tex> k = 1 \ ..\ TL</tex>
'''if''' <tex>p(k)|_{TL} \neq \bot </tex>
'''print''' <tex>p(k)|_{TL}</tex>
*<tex>4 \Rightarrow 2</tex>, <tex>4 \Rightarrow 3</tex>
Пусть дана <tex>f_X(x)</tex>.
Введём новую функцию <tex>g(x) = x</tex>, если <tex>f_X(x) \neq \bot</tex>.
Очевидно, что она вычислима и что её область определения и область значений совпадают с <tex>X</tex>.
}}
== Теорема об униформизации ==
{{Теорема
|statement = Пусть <tex>F</tex> {{---}} перечислимое множество пар натуральных чисел. Тогда существует вычислимая функция <tex>f</tex>, определённая на тех и только тех <tex>x</tex>, для которых найдется <tex>y</tex>, при котором <tex>\langle x, y \rangle \in F</tex>, причём значение <tex>f(x)</tex> является одним из таких <tex>y</tex>.
|proof =
Напишем программу, вычисляющую функцию <tex>f</tex>.
<tex>f(x):</tex>
'''for''' <tex>\langle a, b \rangle \in F</tex>
'''if''' <tex>x == a</tex>
'''return''' <tex>b</tex>
Так как множество <tex>F</tex> перечислимо, то его элементы можно перебрать.
}}
== Теорема о псевдообратной функции ==
{{Теорема
|statement = Для любой вычислимой функции <tex>f</tex> существует вычислимая функция <tex>g</tex>, являющаяся псевдообратной в следующем смысле: <tex>E(f) = D(g)</tex>, и при этом <tex>f(g(f(x))) = f(x)</tex> для всех <tex>x</tex>, при которых <tex>f(x)</tex> определена.
|proof =
Напишем программу, вычисляющую функцию <tex>g</tex>.
<tex>g(n):</tex>
'''for''' <tex>x \in D(f)</tex>
'''if''' <tex>f(x) == n</tex>
'''return''' <tex>x</tex>
Так как область определения вычислимой функции перечислима, то можно перебрать элементы области определения.
}}
== См. также ==
* [[Рекурсивные функции]]
* [[Вычислимые числа]]
* [[Универсальная функция]]
== Источники информации ==
* Н. К. Верещагин, А. Шень. Лекции по математической логике и теории алгоритмов. Часть 3. Вычислимые функции. — М.: МЦНМО, 1999. с. 134, с. 176. ISBN 5-900916-36-7
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Computable_function Wikipedia — Computable function]
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Recursively_enumerable_set Wikipedia — Computably enumerable set]
* [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%92%D1%8B%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B8%D0%BC%D0%B0%D1%8F_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F Википедия — Вычислимая функция]
* [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%B5%D1%80%D0%B5%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B8%D0%BC%D0%BE%D0%B5_%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE Википедия — Перечислимое множество]
[[Категория: Теория формальных языков]]
[[Категория: Теория вычислимости]]
[[Категория: Разрешимые и перечислимые языки]]
