36
правок
Изменения
Нет описания правки
Для того, чтобы получить приближение для результата операции, нам нужно выразить функцию-результат через приближения для операндов.
Заметим, что <tex> |(\alpha \pm \beta) - (a \pm b)| \le leqslant |\alpha - a| \pm |\beta - b| </tex>, для произвольных рациональных <tex> a, b </tex>, значит, в качестве необходимых функций для <tex> \alpha + \beta </tex> и <tex> \alpha - \beta </tex> можно взять
<tex > f_{\alpha + \beta}(\varepsilon) = f_{\alpha}\left(\dfrac {\varepsilon} {2}\right) + f_{\beta}\left(\dfrac {\varepsilon} {2}\right) </tex>
Далее, так как
<tex> |\alpha \beta - ab| = |(\alpha \beta - a \beta) + (a \beta - ab)| \le leqslant |\beta||\alpha - a| + |a||\beta - b| \le leqslant |b_\beta||\alpha - a| + |a||\beta - b|</tex>,
где <tex>b_\beta</tex> {{---}} наименьшее рациональное число, большее <tex>\beta</tex> по модулю (т.е. <tex> b_\beta \in \mathbb Q, |b_\beta| > |\beta| </tex>), то
Убедимся в вычислимости числа <tex> \dfrac {1} {\alpha} </tex>:
<tex> \left|\dfrac {1} {\alpha} - \dfrac{1}{a}\right| \le leqslant \dfrac {|a - \alpha|}{a a_\alpha} </tex>, где <tex> a_\alpha \in \mathbb Q, |a_\alpha| < |\alpha| </tex>.
<tex> f_{\dfrac frac {1} {\alpha}}(\varepsilon) = f_{\alpha}(\varepsilon a a_\alpha) </tex>.
Отсюда, <tex> \dfrac {\alpha} {\beta} = \dfrac{1} {\alpha} \beta </tex> также вычислимо.
: По определению <tex> \alpha </tex>, множество <tex> A = \{ a \in \mathbb Q \mid a < \alpha \} </tex> перечислимо. Кроме того, <tex> \sup A = \alpha </tex>.
: По определению нижней грани, <tex> \forall \varepsilon > 0\ \exists x_\varepsilon \in A: \varepsilon > \alpha - x_\varepsilon </tex>. Тогда можно взять, например, последовательность <tex> a_n = x_{\dfracfrac{1}{n}} </tex>.
<tex>\Longleftarrow</tex>
