Изменения

Последовательность рациональных чисел <tex> \{ r_n \} </tex> '''вычислимо сходится ''' к <tex> \alpha </tex>, если существует вычислимая функция <tex> N: \mathbb Q \rightarrow \mathbb N </tex>, такая, что для любого рационального <tex> \varepsilon > 0 </tex> выполняется <tex>\forall n > N(\varepsilon): |r_n - \alpha| < \varepsilon </tex>.

Заметим, что <tex> |(\alpha \pm \beta) - (a + b)| \le |\alpha - a| \pm |\beta - b| </tex>, значит, в качестве необходимых функций для <tex> \alpha + \beta </tex> и <tex> \alpha - \beta </tex> можно взять  <tex> a_{\alpha + \beta}(\varepsilon) = a_{TODO\alpha}(\frac \varepsilon 2) + a_{\beta}(\frac \varepsilon 2) </tex>  и <tex> a_{\alpha - \beta}(\varepsilon) = a_{\alpha}(\frac \varepsilon 2) - a_{\beta}(\frac \varepsilon 2) </tex> соответственно. Далее, так как <tex> |\alpha \beta - ab| = |(\alpha \beta - a \beta) + (a \beta - ab)| \le |\beta||\alpha - a| + |a||\beta - b| \le |b_\beta||\alpha - a|t+ |a||\beta - b|</tex>, где <tex> b_\beta \in Q, |b_\beta| > |\beta| </tex> (<tex> b_\beta </tex>, очевидно, можно найти за конечное время), то <tex> a_{\alpha \beta}(\varepsilon) =здесь должна появиться некоторая унылая арифметикаa_{\alpha}(\frac \varepsilon {b_\beta}) a_{\beta}(\frac \varepsilon a) </tex>. Убедимся в вычислимости числа <tex> \frac 1 \alpha </tex>: <tex> |\frac 1 \alpha - \frac1a| \le \frac {|a - \alpha|}{a a_\alpha} </tex>, где <tex> a_\alpha \in Q, |a_\alpha| < |\alpha| </tex>. <tex> a_{\frac 1 \alpha}(\varepsilon) = a_{\alpha}(\varepsilon a a_\alpha) </tex>. Отсюда, <tex> \frac \alpha \beta = \frac1 \alpha \beta </tex> также вычислимо.