Изменения

'''Гамильтоновым путёмциклом''' называется простой (англ. ''Hamiltonian cycle'') называют замкнутый гамильтонов путь, приходящий через каждую вершину графа ровно один раз.

Граф называется '''Гамильтоновым цикломполугамильтоновым''' называют замнутый (англ. ''Semihamiltonian graph''), если он содержит гамильтонов путь.

Граф называется '''гамильтоновым'''(англ. ''Hamiltonian graph''), если он содержит гамильтонов цикл.

Если <tex>n \ge geqslant 3</tex> и <tex>\deg\ v \ge geqslant n/2</tex> для любой вершины <tex>v</tex> неориентированного графа <tex>G</tex>, то <tex>G</tex> {{--- }} гамильтонов граф.

Если <tex>n \ge geqslant 3</tex> и <tex>\deg\ u + \deg\ v \ge geqslant n</tex> для любых двух различных несмежных вершин <tex>u</tex> и <tex>v</tex> неориентированного графа <tex>G</tex>, то <tex>G</tex> {{---}} гамильтонов граф.}} ===[[Теорема Поша|Теорема Поша]]==={{Теорема|about = Поша|statement = Пусть граф <tex> G </tex> имеет <tex>n \geqslant 3</tex> вершин и выполнены следующие два условия: *для всякого <tex>k,\, 1 \leqslant k < (n-1)/2</tex>, число вершин со степенями, не превосходящими <tex>k</tex>, меньше чем <tex>k</tex>;*для нечетного <tex>n</tex> число вершин степени <tex>(n-1)/2</tex> не превосходит <tex>(n-1)/2</tex>,  тогда <tex> G </tex> {{--- }} гамильтонов граф.

Любой сильносвязный [[Турниры|турнир]] {{- --}} гамильтонов.

===[[Теорема Гуйя-Ури]]===

Пусть <tex>G </tex> {{- --}} сильносвязный ориентированный граф. <br>

\deg^+ v \geq geqslant n/2 \\ \deg^- v \geq geqslant n/2 \\

</tex> <tex> G </tex> {{- --}} гамильтонов.

* <tex> G </tex> — {{---}} [[Отношение связности, компоненты связности|связный граф]],* <tex> n = |VG| \geq geqslant 3 </tex> — {{---}} количество вершин,* <tex> d_1 \leq leqslant d_2 \leq leqslant \ldots \leq leqslant d_n </tex> — {{---}} его последовательность степеней.

<center><tex> d_k \leq leqslant k < n/2 \rightarrow Rightarrow d_{n - k} \geq geqslant n - k, (*) </tex></center>

 ==Задача о коммивояжере == Рассмотрим алгоритм нахождения гамильтонова цикла на примере задачи о коммивояжёре. ==== Описание задачи =Теорема Поша==={{ТеоремаЗадача|statementdefinition =Пусть граф G имеет <tex>p \geq 3</tex> вершин'''Задача о коммивояжере''' (англ. Если для всякого <tex>n,\''Travelling salesman problem, 1 \leq n < (p-1TSP'')/2</tex> число вершин состепенями— задача, не превосходящими в которой коммивояжер должен посетить <tex>nN </tex>городов, меньше чем <tex>n</tex>побывав в каждом из них ровно по одному разу и завершив путешествие в том городе, и для нечетного <tex>p</tex> число вершин степени <tex>(p-1)/2</tex> не превосходит <tex>(p-1)/2</tex>с которого он начал. В какой последовательности ему нужно обходить города, то G - гамильтонов графчтобы общая длина его пути была наименьшей?

==Алгорит нахождения гамильтового цикла== Варианты решения ====Основан на Задача о коммивояжере относится к классу [[Обход NP-полнота задач о гамильтоновом цикле и пути в глубину, цвета вершинграфах |обходе в глубинуNP-полных задач]]. Рассмотрим два варианта решения с экспоненциальным временем работы. ===Псевдокод== Перебор перестановок ===== search_cycle(0Можно решить задачу перебором всевозможных [[Метод генерации случайной перестановки, 0алгоритм Фишера-Йетса | перестановок]]. Для этого нужно сгенерировать все <tex> N! </tex> всевозможных перестановок вершин исходного графа, number_of_vertices);подсчитать для каждой перестановки длину маршрута и выбрать минимальный из них. Но тогда задача оказывается неосуществимой даже для достаточно небольших <tex>N</tex>. Сложность алгоритма bool search_cycle<tex>O(int v, int w, int d{N!}\times{N})</tex>. { if===== Динамическое программирование по подмножествам (w по маскам) === v) return (d == 0); visited[v] = true; for (t Задача о коммивояжере представляет собой поиск кратчайшего гамильтонова цикла в графе.Зафиксируем начальную вершину <tex>s</tex> и будем искать гамильтонов цикл наименьшей стоимости — путь от <tex>s</tex> до <tex>\ins</tex> Adj[v]) if, проходящий по всем вершинам (!visited[t]кроме первоначальной) if(search_cycle(tодин раз. Т.к. искомый цикл проходит через каждую вершину, w, d - 1)) return true; visited[v] то выбор <tex>s</tex> не имеет значения. Поэтому будем считать <tex>s = false; return false; }0 </tex>.

Подмножества вершин будем кодировать битовыми векторами, обозначим <tex>mask_i</tex> значение <tex>i</tex>-ого бита в векторе <tex>mask</tex>. Обозначим <tex>d[i][mask]</tex> как наименьшую стоимость пути из вершины <tex>i</tex> в вершину <tex>0</tex>, проходящую (не считая вершины <tex>i</tex>) единожды по всем тем и только тем вершинам <tex>j</tex>, для которых <tex>mask_j = 1</tex> (т.е. <tex>d[i][mask]</tex> уже найденный оптимальный путь от <tex>i</tex>-ой вершины до <tex>0</tex>-ой, проходящий через те вершины, где <tex>mask_j=1</tex>. Если <tex>mask_j=0</tex>,то эти вершины еще не посещены). Алгоритм поиска цикла будет выглядеть следующим образом: *Начальное состояние — когда находимся в <tex>0</tex>-й вершине, ни одна вершина не посещена, а пройденный путь равен <tex>0</tex> (т.е. <tex>i = 0</tex> и <tex>mask = 0</tex>). *Для остальных состояний (<tex>i \ne 0</tex> или <tex>mask \ne 0</tex>) перебираем все возможные переходы в <tex>i</tex>-ую вершину из любой посещенной ранее и выбираем минимальный результат.*Если возможные переходы отсутствуют, решения для данной подзадачи не существует (обозначим ответ для такой подзадачи как <tex>\infty</tex>). Стоимостью минимального гамильтонова цикла в исходном графе будет значение <tex> d[0][2^n-1]</tex> — стоимость пути из <tex>0</tex>-й вершины в <tex>0</tex>-ю, при необходимости посетить все вершины. Данное решение требует <tex>O({2^n}\times{n})</tex> памяти и <tex>O({2^n}\times{n^2})</tex> времени. Для того, чтобы восстановить сам путь, воспользуемся соотношением <tex> d[i][mask] = w(i, j) + d[j][mask - 2^j] </tex>, которое выполняется для всех ребер, входящих в минимальный цикл . Начнем с состояния <tex> i = 0 </tex>, <tex> mask = 2^n - 1</tex>, найдем вершину <tex>j</tex>, для которой выполняется указанное соотношение, добавим <tex>j</tex> в ответ, пересчитаем текущее состояние как <tex>i = j</tex>, <tex> mask = mask - 2^j </tex>. Процесс заканчивается в состоянии <tex>i = 0</tex>, <tex> mask = 0 </tex>. ===== Поиск любого гамильтонова пути методом динамического программирования ===== Пусть <tex>d[mask][i]</tex> содержит булево значение — существует ли в подмножестве <tex>mask</tex> гамильтонов путь, заканчивающийся в вершине <tex>i</tex>.  Сама динамика будет такая: <br><tex>d[mask][i] = \left\{\begin{array}{llcl}1&;\ |mask| = 1,\ mask_i = 1\\\bigvee_{mask[j]=1, (j, i) \in E}\limits d[mask \oplus 2^i][j] &;\ |mask| > 1,\ mask_i= 1 \\ 0&;\ otherwise\\\end{array}\right.</tex> Это решение требует <tex>O(2^nn)</tex> памяти и <tex>O(2^nn^2)</tex> времени. Эту оценку можно улучшить, если изменить динамику следующим образом. Пусть теперь <tex>d'[mask]</tex> хранит маску подмножества всех вершин, для которых существует гамильтонов путь в подмножестве <tex>mask</tex>, заканчивающихся в этой вершине. Другими словами, сожмем предыдущую динамику: <tex>d'[mask]</tex> будет равно <tex>\sum_{i \in [0..n-1]}\limits d[mask][i] \cdot 2 ^i </tex>. Для графа <tex>G</tex> выпишем <tex>n</tex> масок <tex>M_i</tex>, для каждой вершины задающие множество вершин, которые связаны ребром с данной вершиной. То есть <tex>M_i = \sum_{j \in [0..n-1]}\limits 2^j \cdot ((i, j) \in E ? 1:0) </tex>. Тогда динамика перепишется следующим образом: <br><tex>d'[mask] = \left\{\begin{array}{llcl}mask &;\ |mask| = 1 \\\sum_{i \in [0..n-1] \& mask_i=1}\limits 2^i \cdot ((d[mask \oplus 2^i] \& M_i) \neq 0?1:0) &;\ |mask| > 1 \\ 0&;\ otherwise\\\end{array}\right.</tex> Особое внимание следует уделить выражению <tex>d[mask \oplus 2^i] \& M_i</tex> . Первая часть выражения содержит подмножество вершин, для которых существует гамильтонов путь, заканчивающихся в соответствующих вершинах в подмножестве <tex>mask</tex> без вершины <tex>i</tex>, а вторая — подмножество вершин, связанных с <tex>i</tex> ребром. Если эти множества пересекаются хотя бы по одной вершине (их <tex>\&</tex> не равен <tex>0</tex>), то, как нетрудно понять, в <tex>mask</tex> существует гамильтонов путь, заканчивающийся в вершине <tex>i</tex>. Окончательная проверка состоит в сравнении <tex>d[2^n - 1]</tex> c <tex>0</tex>. Это решение использует <tex>O(2^n)</tex> памяти и имеет асимптотику <tex>O(2^nn)</tex>. ==== Псевдокод ==== Прежде чем писать код, скажем пару слов о порядке обхода состояний. Обозначим за <tex>|mask|</tex> количество единиц в маске (иначе говоря количество пройденных вершин не считая текущей). Тогда, поскольку при рассмотрении состояния <tex>\langle i, mask \rangle</tex> мы смотрим на состояния <tex>\langle j, mask - 2^j \rangle</tex>, и <tex>|mask| = |mask - 2^j| + 1</tex>, то состояния с большим <tex>|mask|</tex> должны быть посещены позже, чтобы к моменту вычисления текущего состояния были вычислены все те, которые используются для его подсчёта. Однако если использовать рекурсию, об этом можно не беспокоиться (и сэкономить немало кода, времени и памяти).  <span style="color:Green">// все переменные используются из описания алгоритма, <tex>\infty</tex> = бесконечность</span> '''function''' findCheapest(i, mask): '''if''' d[i][mask] != <tex>\infty</tex> '''return''' d[i][mask] '''for''' j = 0 .. n - 1 '''if''' w(i, j) существует '''and''' j-ый бит mask == 1 d[i][mask] = '''min'''(d[i][mask], findCheapest(j, mask - <tex>2^j</tex>) + w(i, j)) '''return''' d[i][mask] '''function''' start(): '''for''' i = 0 .. n - 1 '''for''' mask = 0 .. <tex>2^n</tex> - 1 d[i][mask] = <tex>\infty</tex> d[0][0] = 0 ans = findCheapest(0, <tex>2^n</tex> - 1) '''return''' ansДальше ищем сам цикл: '''function''' findWay(): i = 0 mask = <tex>2^n</tex> - 1 path.push(0) '''while''' mask != 0 '''for''' j = 0 .. n - 1 '''if''' w(i, j) существует '''and''' j-ый бит mask == 1 '''and''' d[i][mask] == d[j][mask - <tex>2^j</tex>] + w(i, j) path.push(j) i = j mask = mask - <tex>2^j</tex> '''continue''' ==== Алгоритм нахождения гамильтонова цикла ====Алгоритм нахождения гамильтонова цикла легко получить слегка изменив алгоритм нахождения минимального гамильтонова цикла.В массиве <tex>d[i][mask]</tex> мы хранили расстояния, но сейчас нас не интересует какой длины будет это расстояние, так как главной задачей является нахождение цикла. В этом массиве мы теперь просто храним посещение вершин. И каждый раз, когда при запуске находим непосещенную вершину, то запускаем функцию рекурсивно от нее. Если она возвращает <tex> true</tex>, то есть до вершины можно добраться, то записываем, что мы можем посетить вершину. Проходы так же осуществляются по рёбрам. ==== Алгоритм нахождения гамильтонова пути ====Алгоритм нахождения гамильтонова пути легко получить, используя алгоритм нахождения гамильтонова цикла. Нужно добавить в граф еще одну вершину и ребра от нее до всех остальных вершин и из всех остальных вершин до неё. И далее запустить алгоритм поиска цикла от новой вершины. В восстановлении пути учтем, что эта вершина лишняя, и не будем записывать её в путь. == См. также == *[[Кратчайший путь в ациклическом графе]]*[[Задача о наибольшей общей подпоследовательности]]*[[Задача о наибольшей возрастающей подпоследовательности]]*[[Задача о рюкзаке]]*[[Алгоритм нахождения Гамильтонова цикла в условиях теорем Дирака и Оре]] ==Источникиинформации==