Изменения

Перейти к: навигация, поиск

Гамильтоновы графы

29 байт добавлено, 09:11, 13 октября 2020
В этом разделе ничего не оптимизируется: выше находили самый дешевый гам. цикл, а здесь находим любой гам. путь, то есть другая задача.
{{Определение
|definition =
'''Гамильтоновым путём''' (англ. ''Hamiltonian path'') называется простой путь, приходящий проходящий через каждую вершину графа ровно один раз.
}}
{{Определение
|id = defCycle
|definition =
'''Гамильтоновым циклом''' (англ. ''Hamiltonian cycle'') называют замкнутый гамильтонов путь.
Для того, чтобы восстановить сам путь, воспользуемся соотношением <tex> d[i][mask] = w(i, j) + d[j][mask - 2^j] </tex>, которое выполняется для всех ребер, входящих в минимальный цикл . Начнем с состояния <tex> i = 0 </tex>, <tex> mask = 2^n - 1</tex>, найдем вершину <tex>j</tex>, для которой выполняется указанное соотношение, добавим <tex>j</tex> в ответ, пересчитаем текущее состояние как <tex>i = j</tex>, <tex> mask = mask - 2^j </tex>. Процесс заканчивается в состоянии <tex>i = 0</tex>, <tex> mask = 0 </tex>.
===== Оптимизация решения Поиск любого гамильтонова пути методом динамического программирования =====
Пусть <tex>dpd[mask][i]</tex> содержит булево значение — существует ли в подмножества подмножестве <tex>mask</tex> гамильтонов путь, заканчивающийся в вершине <tex>i</tex>.
Сама динамика будет такая: <br>
Это решение требует <tex>O(2^nn)</tex> памяти и <tex>O(2^nn^2)</tex> времени. Эту оценку можно улучшить, если изменить динамику следующим образом.
Пусть теперь <tex>d'[mask]</tex> хранит маску подмножества всех вершин, для которых существует гамильтонов путь в подмножестве <tex>mask</tex>, заканчивающихся в этой вершине. Другими словами, сожмем предыдущую динамику: <tex>d'[mask]</tex> будет равно <tex>\sum_{i \in [0..n-1]}\limits d[mask][i] \cdot 2 ^i </tex>. Для графа <tex>G</tex> выпишем <tex>n</tex> масок <tex>M_i</tex>, для каждой вершины задающие множество вершин, которые связаны ребром в с данной вершиной. То есть <tex>M_i = \sum_{j \in [0..n-1]}\limits 2^i j \cdot ((i, j) \in E ? 1:0) </tex>.
Тогда динамика перепишется следующим образом: <br>
<tex>
d'[mask][i] = \left\{\begin{array}{llcl}2^imask &;\ |mask| = 1,\ mask_i = 1\\\sum_{j i \in [0..n-1]\& mask_i=1}\limits 2^i \cdot ((d[mask \oplus 2^i] \& M_i) \neq 0?1:0) &;\ |mask| > 1 \\
 0&;\ otherwise\\
\end{array}\right.
Анонимный участник

Навигация