Изменения
Точки сочленения
Чтобы проверить планарность графа и произвести его плоскую укладку, удобно пользоваться гамма-алгоритмом.
== Входные данные ==
На вход алгоритму подаются графы со следующими свойствами:
# Граф [[Отношение связности, компоненты связности|связный,]].# Граф содержит хотя бы один цикл,.
# Граф не имеет [[Мост, эквивалентные определения|мостов]].
# Граф не имеет точек сочленения.
Если нарушено свойство <tex>1</tex>, то граф нужно укладывать отдельно по компонентам связности. Если нарушено свойство <tex>2</tex>, то граф {{---}} дерево и [[Укладка дерева|нарисовать его плоскую укладку ]] тривиально.
Более подробно рассмотрим случай, когда в графе <tex>G</tex> нарушено свойство <tex>3</tex>. Сначала все мосты нужно убрать, далее произвести отдельную укладку всех компонент следующим образом: уложим одну компоненту связности, а следующую компоненту, связанную с первой в графе <tex>G</tex> мостом, будем рисовать в той грани, в которой лежит вершина, принадлежащая мосту. Иначе может сложиться ситуация, когда концевая вершина моста будет находиться внутри плоского графа, а следующая компонента {{--- }} снаружи. Таким образом мы сможем соединить мостом нужные вершины. Далее будем так поступать с каждой новой компонентой.
== Описание алгоритма ==
Рассмотрим работу алгоритма, параллельно разбирая на примере каждый шаг.
|}
Первый этап {{---}} '''инициализация''' алгоритма. В графе <tex>G</tex> выбирается [[Использование обхода в глубину для поиска цикла|любой простой цикл ]] и производится его укладка на плоскость. Пусть в примере это будет цикл <tex>\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}</tex>. После его укладки получаем две грани: <tex>\Gamma_{1}</tex> и <tex>\Gamma_{2}</tex> (рис. 2).
{| cellpadding="2"
Уже уложенную во время работы алгоритма часть будем обозначать <tex>G_{plane}</tex>. В примере сейчас <tex>G_{plane}</tex> {{---}} выбранный цикл <tex>\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}</tex>.
Построим множество '''сегментов'''. Каждый сегмент <tex>S</tex> относительно уже построенного <tex>G_{plane}</tex> представляет собой одно из двух:
|}
Пусть в каком-то сегменте нет ни одной контактной вершины. В таком случае граф до выделения <tex>G_{plane}</tex> был несвязным, что противоречит условию. Пусть контактная вершина в сегменте только одна. Это значит, что в графе был мостили точка сочленения, чего быть не может так же по условию. Таким образом, в каждом сегменте имеется не менее двух контактных вершин. Соответственно, в каждом сегменте есть цепь между любой парой контактных вершин.
Пусть грань <tex>\Gamma</tex> '''вмещает''' сегмент <tex>S</tex>, если номера всех контактных вершин <tex>S</tex> принадлежат этой грани, <tex>S \subset \Gamma</tex>. Очевидно, таких граней может быть несколько. Множество таких граней обозначим <tex>\Gamma(S)</tex>, а их число {{---}} <tex>|\Gamma(S)|</tex>.
Разберем пример до конца. Повторим снова общий шаг. Теперь <tex>|\Gamma(S_{1})| = |\Gamma(S_{3})| = 1</tex>, <tex>|\Gamma(S_{2})| = |\Gamma(S_{4})| = 2</tex>. Возьмем <tex>S_{1}</tex>. В ней цепь <tex>\{2, 5\}</tex>, которую мы уложим в грань <tex>\Gamma_{2}</tex>, после чего этот сегмент исчезнет. Теперь картина будет следующая (рис. 5):
# Либо получена плоская укладка графа, либо граф оказался не планарен.
== Доказательство корректности гамма-алгоритма ==
Перед доказательством корректности приведем ряд важных вспомогательных лемм.
|id=lemma1
|about=1
|statement=Конфликтующие сегменты <tex>S_{1}</tex> и <tex>S_{2}</tex> обладают следующим свойством: если <tex>|\Gamma(S_{1})| \geq geqslant 2</tex> и <tex>|\Gamma(S_{2})| \geq geqslant 2</tex>, то <tex>\Gamma(S_{1}) = \Gamma(S_{2}) = 2</tex>.
|proof=Сначала докажем, что <tex>\Gamma(S_{1}) = \Gamma(S_{2})</tex>. Предположим противное. Тогда по условию леммы найдутся три различные грани <tex>\Gamma_{1}, \Gamma_{2}</tex> и <tex>\Gamma_{3}</tex> такие, что <tex>\Gamma_{1} \in \Gamma(S_{1}), \Gamma_{2} \in \Gamma(S_{2}), \Gamma_{3} \in Q = \Gamma(S_{1}) \cap \Gamma(S_{2}) \neq \emptyset</tex>. Тогда любые цепи <tex>L_{1} \subset S_{1}</tex> и <tex>L_{2} \subset S_{2}</tex> укладываются в <tex>\Gamma_{1}</tex> и <tex>\Gamma_{2}</tex> соответственно. Но это значит, что любая пара цепей <tex>L_{1}</tex> и <tex>L_{2}</tex> одновременно укладывается вне грани <tex>\Gamma_{3}</tex>. Следовательно, они одновременно укладываются и внутри грани <tex>\Gamma_{3}</tex>, причем без пересечений. Но это противоречит тому, что <tex>S_{1}</tex> и <tex>S_{2}</tex> {{---}} конфликтующие сегменты. Таким образом, <tex>\Gamma(S_{1}) = \Gamma(S_{2})</tex>.
Теперь покажем, что <tex>|Q| = 2</tex>. Доказательство снова поведем методом от противного. Пусть <tex>|Q| \geq geqslant 3</tex>. Тогда снова существует три различные грани <tex>\Gamma_{1}, \Gamma_{2}</tex> и <tex>\Gamma_{3} \in Q</tex>. Аналогичными рассуждениями снова приходим к противоречию с тем, что <tex>S_{1}</tex> и <tex>S_{2}</tex> {{---}} конфликтующие сегменты.
}}
|id=lemma2
|about=2
|statement=Если результатом некоторого шага работы гамма-алгоритма является частичная укладка <tex>G'</tex> планарного графа <tex>G</tex> такая, что <tex>|\Gamma(S)| \geq geqslant 2</tex> для любого сегмента <tex>S</tex> относительно <tex>G'</tex>, то <tex>A(G')</tex> {{---}} [[Двудольные графы и раскраска в 2 цвета|двудольный граф]].
|proof=Докажем от противного. Пусть <tex>A(G')</tex> {{---}} не двудольный. Тогда по [http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%94%D0%B2%D1%83%D0%B4%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D0%B3%D1%80%D0%B0%D1%84%D1%8B_%D0%B8_%D1%80%D0%B0%D1%81%D0%BA%D1%80%D0%B0%D1%81%D0%BA%D0%B0_%D0%B2_2_%D1%86%D0%B2%D0%B5%D1%82%D0%B0[Двудольные графы и раскраска в 2 цвета#.D0.A2.D0.B5.D0.BE.D1.80.D0.B5.D0.BC.D0.B0_.D0.9A.D0.B5.D0.BD.D0.B8.D0.B3.D0.B0 Теорема Кенига|теореме Кенинга]] в нем есть цикл нечетной длины. Этому циклу соответствует некоторая последовательность сегментов <tex>S_{1}, S_{2}, \cdots S_{2m+1}, S_{1}</tex> относительно <tex>G'</tex>, в которой каждые соседние сегменты конфликтующие по определению. По лемме 1 <tex>\Gamma(S_{i}) = \{\Gamma_{1}, \Gamma_{2}\}, i \in \{1 \cdots 2m+1\}</tex>. Так как <tex>G'</tex> {{---}} частичная укладка графа, то все сегменты <tex>S_{1}, S_{2}, \cdots S_{2m+1}</tex> могут быть уложены. А так как соседние сегменты этой последовательности конфликтующие, то они должны быть уложены в разные грани, что невозможно, так как число сегментов в последовательности нечетное. Получили противоречие. Следовательно, <tex>A(G')</tex> {{---}} двудольный.
}}
Заметим, что на текущем шаге нет такого сегмента <tex>S</tex> относительно <tex>G'_{k-1}</tex>, для которого бы выполнялось равенство <tex>\Gamma(S) = \emptyset</tex>, так как в противном случае существовала бы цепь этого сегмента, контактные вершины которой принадлежали бы разным граням и укладка которой была бы невозможна. Следовательно, нельзя было бы уложить <tex>S</tex>,что противоречит тому, что <tex>G</tex> {{---}} планарный граф. Значит, мы можем рассматривать только следующие два случая:
Таким образом, на каждом шаге мы получаем частичную укладку графа, что доказывает корректность гамма-алгоритма.
'''Следствие:''' Если на каком-то шаге встретился сегмент <tex>S</tex>, для которого нет вмещающей грани, то граф непланарный.
==См. также==
* [[Теорема Понтрягина-Куратовского|Теорема Понтрягина-Куратовского]]
* [[Теорема Фари|Теорема Фари]]
== Источники информации ==
* [http://rain.ifmo.ru/cat/view.php/theory/graph-coloring-layout/layout-2004 Дискретная математика: алгоритмы]
[[Категория: Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория: Укладки графов ]]
