Изменения

<tex>{P} (X \geqslant (1 + \delta)m) \leqslant e^{m(\delta - (1 + \delta)\ln(1 + \delta))} \leqslant e^{- \frac{\delta^2}{2 + \delta}m }</tex>, для <tex>\delta > 0</tex>

<tex>{P}(x X \geqslant a) =</tex> <tex>{P}(e^x {tX} \geqslant e^a{ta}) \leqslant </tex> <tex>\dfrac{{E}(e^{tX})}{e^a{ta}}</tex>

<tex>\dfrac{{E}(e^{tX})}{e^a{ta}} \leqslant</tex> <tex>\dfrac{\prod\limits_{i = 1}^{n}e^{p(e^t - 1)}}{e^{ata}} =</tex> <tex>\dfrac{e^{(e^t - 1)\sum\limits_{i = 1}^{n}p}}{e^{ata}}</tex>

<tex>\dfrac{e^{(e^t - 1)\sum\limits_{i = 1}^{n}p}}{e^{ata}} = </tex> <tex>e^{m(e^t - 1 - t - t\delta)}</tex>

==ПримерСравнение с оценкой неравенством Чебышева== Граница Чернова даёт намного более точную оценку, чем неравенство Чебышева. Пусть честную монету подбросили <tex>N</tex> раз. Оценим вероятность того, что сумма бросков <tex>S</tex> отклонилась от матожидания больше, чем на <tex>\delta = \sqrt{\dfrac{\ln N}{N}}</tex> с помощью [[Неравенство Маркова#Неравенство Чебышева | неравенства Чебышева]] и [[Граница Чернова#Абсолютная оценка | аддитивной формы границы Чернова]]

Честную монету подбросили По неравенству Чебышева: <tex>1000</tex> раз. Оценим вероятность того, что выпало больше <tex>550P(|\dfrac{S}{N} - \dfrac{1}{2}| \geqslant \delta) \leqslant \dfrac{1}{4N\delta^2} = \dfrac{1}{4\ln N}</tex> орлов с помощью [[Неравенство Маркова#Неравенство Чебышева | неравенства Чебышева]] и [[Граница Чернова#Относительная оценка | мультипликативной формы границы Чернова]]

Пусть Оценка границей Чернова: <tex>X</tex> P(|\dfrac{S}{N} -\dfrac{1}{2}| \geqslant \delta) \leqslant 2e^{--2N\delta^2} = \dfrac{2}{N^2} сумма результатов бросков.</tex>

По неравенству Чебышева: ==Применение==Оценка границей Чернова используется в решении проблем уравновешивания множеств <texref>P(|\dfrac[https://en.wikipedia.org/wiki/Set_balancing Wikipedia {X}{1000} - \dfrac{1}{2}| \geqslant \dfrac{11}{10--}) \leqslant \dfrac{121}{400}Set balancing]</texref>и маршрутизации пакетов в разреженных сетях.

Оценка границей ЧерноваЗадача уравновешивания двух множеств возникает при планировании статистических экспериментов. Обычно при планировании эксперимента известны свойства каждого участника, задача состоит в том, чтобы разделить участников на две группы: <tex>P(X \geqslant (1 + \dfrac{1}{10}) \cdot 500) \leqslant e^{-\dfrac{50}{21}} \approx \dfrac{1}{100}</tex>контрольную и тестовую, так, чтобы каждое свойство было как можно более сбалансированно между двумя группами.

Граница Чернова даёт намного более точную оценкуиспользуется в теории вычислительного обучения для оценки того, что алгоритм с большой вероятностью имеет небольшую ошибку на достаточно большом наборе обучающих данных.