1632
правки
Изменения
м
Лекция от 20 сентября 2010.__TOC__
rollbackEdits.php mass rollback
[[Категория:Математический анализ 1 курс]]
== Определения ==
{{Определение
|definition=
Если <tex> A \subset \mathbb R, \, \exists b \in \mathbb R : A \le b </tex>, то A называется '''ограниченным сверху''' [[Множества|множеством]].
<tex> b </tex> называется '''верхней границей''' множества А.
Если <tex> A \subset \mathbb R, \, \exists b, c \in \mathbb R : c \le A \le b </tex>, то A называется '''ограниченным''' множеством.
}}
{{Определение
|id = defsup
|definition=
Если <tex> A </tex> {{---}} ограничено сверху, то наимешьшая из его верхних границ называется '''верхней гранью'''.
<tex> b = \sup A</tex> ("супремум")
}}
{{Определение
|id = definf
|definition=
Если <tex> A </tex> {{---}} ограничено снизу, то наибольшая из его нижних границ называется '''нижней гранью'''.
<tex> b = \inf A</tex> ("инфиуминфимум")
}}
{{Теорема
|statement=
Если А ограничено сверху, то у него существует верхняя грань (Аналогично аналогично для А, ограниченного снизу).
|proof=
Пусть M {{- --}} множество верхних границ А. Так как А ограничено сверху, то <tex> M \ne \varnothing </tex>.
По определению верхней границы: <tex> A \le M </tex>.
#<tex> A \le d \Rightarrow d \in M </tex>.
#<tex> d \le M \Rightarrow d </tex> {{- --}} наименьшая из верхних границ А.Получили, что d {{- --}} верхняя граница А, и d не больше всех верхних границ А <tex>\Rightarrow d = \sup \, A </tex>.
Аналогично для нижней грани ограниченного снизу множества А.
}}
==Принцип вложенных отрезков==
{{Определение
Множество <tex> [a, b] = \{ x: a \le x \le b \} </tex> называется '''отрезком''' или '''замкнутым промежутком'''.
Обозначение <tex> <\langle a, b> \rangle = \{ x: a\, ?\, x\, ?\, b \} </tex> ('''промежуток''') используется, когда неизвестно включение границ.
По аналогии определяются и промежутки типа <tex> (a, b] </tex>.
}}
{{Определение
<tex> B = \{ b_n | n \in \mathbb N \} </tex>
Пусть <tex> c = \sup \, A, d = \inf \, B </tex>.
<tex> c </tex> и <tex> d </tex> существуют.
Исходя из определения граней, если:
<tex> d = \sup \, A \in \mathbb R : </tex>
<tex> \forall \varepsilon > 0, \exists a \in A: d - \varepsilon < a </tex>
<tex> c = \inf \, A \in \mathbb R : </tex>
<tex> \forall \varepsilon > 0, \exists a \in A: c + \varepsilon > a </tex>
