Изменения

 1. # <tex>\forall S: S \supseteq L, |S| \neq 0</tex> строго расширяется, то есть <tex>|\Gamma(S)| > |S|</tex>. Выберем <tex>\forall x: x \supset V(L) : (x, y) \in E</tex>. Тогда рассмотрим двудольный граф <tex>G^{*}</tex>, у которого левая доля <tex>L^{*} = L \diagdown {x}</tex>, а правая <tex>R^{*} = R \diagdown {y}</tex>. Так как <tex>\forall S: S \supset L</tex> удовлетворяет строгому неравенству теоремы, то каждое подмножество <tex>L^{*}</tex> удовлетворяет неравенству, поскольку только одна вершина <tex>y</tex> была удалена из <tex>R</tex>. Следовательно, по предположению индукции меньший граф <tex>G^{*}</tex> имеет паросочетание. К этому паросочетанию добавляем ребро (x, y) что дает совершенное паросочетание. 2. # Пусть <tex>\exists\ T \in L, \ |T| \neq 0</tex> такое, что <tex>|\Gamma(T)| = |T|</tex>. Рассмотрим порожденные графы <tex>G_{1} = T \cup \Gamma(T)</tex> и <tex>G_{2} = L \diagdown T \cup R \diagdown \Gamma(T)</tex>. По предположению индукции <tex>G_{1}</tex> имеет совершенное паросочетание (Заметим, что предположение индукции не может использовано непосредственно на <tex>G_{2}</tex>). Пусть <tex>S \supseteq L \diagdown T</tex>, тогда: <tex> \Gamma_{G_{2}}(S) = \Gamma_{G}(S \cup T) \diagdown \Gamma_{G}(T) \ \Rightarrow</tex> <tex>|\Gamma_{G_{2}}| \geqslant |S \cup T| - |T| = |S|</tex> Неравенство верно, поскольку <tex>S \cup T</tex> удовлетворяет <tex>|\Gamma_{G}(S \cup T)| \geqslant |S \cup T|</tex> и по предположению <tex>|\Gamma_{G}(T)| = |T|</tex>. Следовательно, <tex>G_{2}</tex> также удовлетворяет неравенству теоремы и по предположению индукции имеет паросочетание. Объединение совершенных паросочетаний <tex>G_{1}</tex> и <tex>G_{2}</tex> {{---}} паросочетание для <tex>G</tex>.