Граф блоков-точек сочленения — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
Строка 4: Строка 4:
 
Построим двудольный граф <tex>T</tex>, поместив <tex>A_1...A_n</tex> и <tex>a_1...a_m</tex> в различные его доли. Если точка сочленения принадлежит блоку, проведем между ними ребро. Полученный граф <tex>T</tex> называют '''графом блоков-точек сочленения''' графа <tex>G</tex>.
 
Построим двудольный граф <tex>T</tex>, поместив <tex>A_1...A_n</tex> и <tex>a_1...a_m</tex> в различные его доли. Если точка сочленения принадлежит блоку, проведем между ними ребро. Полученный граф <tex>T</tex> называют '''графом блоков-точек сочленения''' графа <tex>G</tex>.
 
}}
 
}}
[[Файл:Граф_блоков.png]]
+
<div class="tleft" style="clear:none">[[Файл:block_cut_vertex_1.png|thumb|300px|Граф <tex>G</tex>]]</div>
 +
<div class="tleft" style="clear:none">[[Файл:block_cut_vertex_2.png|thumb|200px|Граф <tex>T</tex>]]</div>
 
<br>
 
<br>
 
{{Лемма
 
{{Лемма

Версия 01:20, 1 марта 2012

Определение:
Пусть граф [math]G[/math] связен. Обозначим [math]A_1...A_n[/math] — блоки, а [math]a_1...a_m[/math]точки сочленения [math]G[/math]. Построим двудольный граф [math]T[/math], поместив [math]A_1...A_n[/math] и [math]a_1...a_m[/math] в различные его доли. Если точка сочленения принадлежит блоку, проведем между ними ребро. Полученный граф [math]T[/math] называют графом блоков-точек сочленения графа [math]G[/math].
Граф [math]G[/math]
Граф [math]T[/math]


Лемма:
В определении, приведенном выше, [math]T[/math] — дерево.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Достаточно показать, что в [math]T[/math] нет циклов.

Пусть [math]A_i, a_k, A_j: a_k \in A_i, A_j[/math] — последовательные вершины [math]T[/math], лежащие на цикле. Тогда существует последовательность точек сочленения и блоков, соединяющая [math]A_i[/math] и [math]A_j[/math] и не содержащая [math]a_k[/math]. По ней можно проложить путь в [math]G[/math] (можем переходить из блока в блок по точке сочленения и из одной части блока в другую) и замкнуть его в вершине [math]a_k[/math], получив цикл, что противоречит тому, что [math]a_k[/math] — точка сочленения.
[math]\triangleleft[/math]

Литература

М.О.Асанов, В.А.Баранский, В.В.Расин ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА: ГРАФЫ, МАТРОИДЫ, АЛГОРИТМЫ

См. также