Изменения

Пусть дан двудольный граф замен. В его правой доле можно выделить выделено два подмножества вершин <tex>X_1 = \{z \in S \setminus I \mid I \cup z \in \mathcal{I}_1 \}, X_2 = \{z \in S \setminus I \mid I \cup z \in \mathcal{I}_2 \}</tex>. Пусть <tex>P</tex> — {{---}} кратчайший путь из <tex>X_1</tex> в <tex>X_2</tex>. Рассмотрим сужение <br><tex>G'</tex> графа {{---}} подграф <tex>G</tex> на , включающий множество вершин, лежащих в на пути <tex>P</tex>.<br>Тогда в <tex>G'</tex> существует единственное [[Паросочетания: основные определения, теорема о максимальном паросочетании и дополняющих цепях#Паросочетание в двудольном графе|полное паросочетание]].

Строго говоря, утверждение теоремы не совсем корректно, так :Так как в правой доле полученного графа <tex>G'</tex> вершин на одну больше, чем в левой. Поэтому , добавим в <tex>G'</tex> фиктивную вершину и отнесем ее к левой доле. Пусть путь :Рассмотрим <tex>P = (a_1, b_1, a_2, b_2, \ldots , a_k, b_k)</tex>{{---}} кратчайший путь из условия, где <tex>a_1</tex> — {{---}} фиктивная вершина (рис. 1). :В таком случае, полное паросочетание {{---}} это набор ребер <tex>\langle a_i,b_i \rangle</tex>.

Существование полного паросочетания очевидно — это ребра <tex>(a_i,b_i)</tex>Докажем единственность. Предположим, что :Пусть существует другое паросочетание <tex>(\langle a_i, b_{j_i})\rangle</tex>. Тогда пусть <tex>i_0 = \min \{ i \: \mid \: j_i < i \}</tex>. :Обозначим <tex>j_{i_0}</tex> как <tex>i_1</tex>. Заметим, что <tex>i_1 < i_0</tex> (так как <tex>j_{i_0} < i_0 </tex> по определению <tex>i_0</tex>) и поэтому не может быть <tex>j_{i_1} < i_1j_{i_0}</tex>, ведь <tex>i_0</tex> — минимальное из соответствующего множества. Так же невозможно <tex>j_{i_1} = i_1j_{i_0}</tex>, поскольку тогда <tex>a_{i_0}</tex> и <tex>a_{i_1}</tex> имели бы одинаковую пару. :Следовательно, <tex>j_{i_1} > i_1j_{i_0}</tex> (рис. 2). Это значит, что существует путь <tex>P_1 = (a_1, b_1, \ldots, a_{i_1}, b_{j_{i_1}}, a_{j_{i_1} + 1}, \ldots, a_k, b_k )</tex> короче, чем <tex>P</tex>. Противоречие, что противоречит тому, что <tex>P</tex> {{---}} кратчайший путь.

|statement= Пусть <tex>M = \langle X,\mathcal{I} \rangle </tex> &mdash; [[Определение матроида|матроид]]. Множества <tex>A, B \in \mathcal{I}</tex> {{---}} независимы, причем <tex>|A| = |B|</tex>. Тогда двудольный граф <tex>D_{M}(\mathcal{I})</tex> содержит полное паросочетание на <tex>A \bigtriangleup B</tex>.

:Рассмотрим матроид <tex>M_1 = \langle X, \{ A \mid A \in \mathcal{I}, |A | \leqslant k \} \rangle</tex>. Множества <tex>A, B \in \mathcal{I}</tex>, <tex>|A| = |B|</tex> и матроид <tex>M_1</tex> не содержит множеств больших, чем <tex>A</tex>, а значит они являются базами для матроида <tex>M_1</tex>.

\in \mathcal{I}</tex>, следовательно по определению графа <tex>D_M(A) , (x, y) \in D_M(A)</tex>. Тогда <tex>N \cup {(x, y)}</tex> составляет полное паросочетание на <tex>|A \bigtriangleup B|</tex>. Индукционный переход доказан.

|statement= Дан [[Определение матроида|матроид]] <tex>M = \langle X,I \rangle </tex>. Пусть двудольный граф <tex>G_M(A) = \{ (x, y) \mid x \in A, y \notin A, A \setminus x \cup y \in I \}</tex> содержит единственное полное паросочетание на <tex>A \oplus bigtriangleup B</tex>, где <tex>A\in I</tex> и <tex>|A| = |B|</tex>. Тогда <tex>B \in I</tex>.

Упорядочим вершины левой <tex>(y_i \in A \setminus B)</tex> и правой <tex>(z_j \in B \setminus A)</tex> долей таким образом, что <tex>\forall j > i : \langle y_i, z_j \rangle \notin G_M(A)</tex>. При таком упорядочивании ребра паросочетания имеют вид <tex> \langle y_i, z_i \rangle</tex>.:Требуется доказать, что <tex>B</tex> независимо. :Предположим обратное. Пусть <tex>B \notin I</tex>, тогда . Tогда существует [[Теорема о циклах|цикл]] <tex>C \subset B</tex>.<br/> Выберем минимальное <tex>i</tex> такое, что <tex>z_i \in C</tex>. Так как <tex>\forall j > i : (\langle y_i , z_j) \rangle \notin G_M(A)</tex>, то <tex>A \setminus y_i \cup z_j \notin I</tex>, следовательно. Cледовательно, <tex>C \setminus z_i \subset \langle A \setminus y_i \rangle </tex>.  :По [[Оператор замыкания для матроидов#theorem|свойствам замыкания 1 и 3]] получаем:<br/>

Так как <tex>z_i \in \langle C \setminus z_i \rangle \subset \langle A \setminus y_i \rangle</tex>, то <tex>A \setminus y_i \cup z_i \notin I</tex>, то есть в <tex>G_M(A)</tex> не существует ребра <tex>(\langle y_i , z_i)\rangle</tex>. :Но тогда, как было отмечено ранее, не существует полного паросочетания. Получили противоречие.