Изменения

'''Граф замен''' (англ ''exchange graph'') {{---}} специальный [[Файл:Graph_DY.pngОсновные определения теории графов|250px|thumb|rightориентированный двудольный граф]], фигурирующий в [[Теорема Эдмондса-Лоулера|Граф замен <tex>D_{M_1, M_2}(I)</tex>теореме Эдмондса-Лоулера]].

Пусть даны матроиды <tex>M_1 = \langle S, \mathcal{I}_1 \rangle</tex>, <tex>M_2 = \langle S, \mathcal{I}_2 \rangle</tex>, множество <tex>(\mathcal{I}_1 \cap \mathcal{I}_2)</tex>. Введем граф замен. {{Определение|definition ='''Граф замендля двух матроидов''' — специальный ориентированный двудольный <tex>D_{M_1, M_2}(I)</tex> {{---}} граф, фигурирующий левой долей которого являются элементы множества <tex>I</tex>, правой — все остальные элементы <tex>S</tex> и в [[Теорема Эдмондса-Лоулера|теореме Эдмондса-Лоулера]].котором проведены ребра <tex>(y, z): y \in I, z \in S \setminus I, I \setminus y \cup z \in \mathcal{I}_1</tex>, а также <tex>(z', y'): y' \in I, z' \in S \setminus I, I \setminus y' \cup z' \in \mathcal{I}_2</tex>}}

Пусть <tex>X_1 = \{z \in S \setminus I \mid I\cup z \in \mathcal{I}_1 \}, X_2 = \{z \in S \setminus I \mid I \cup z \in \mathcal{I}_2 \}, P</tex> — текущее независимое множество, построенное [[Алгоритм построения базы кратчайший путь в пересечении матроидов|алгоритмом]] для матроидов <tex>D_{M_1 = \langle S, I_1 \rangleM_2}(I)</tex>, из <tex>M_2 = \langle S, I_2 \rangleX_1</tex>. Введем граф замен в <tex>D_{M_1, M_2}(I)X_2</tex>, левой долей которого являются элементы множества . Тогда [[Алгоритм построения базы в пересечении матроидов|алгоритм]] с помощью этого пути либо определяет максимальность набора <tex>I</tex>, правой — все остальные элементы либо позволяет найти набор большей мощности.[[Файл:Graph_DY.png|400px|thumb|center|Граф замен <tex>SD_{M_1, M_2}(I)</tex>. Проведем все имеющиеся ребра ]]

Также существует граф замен для одного матроида. {{Определение|id=def_2|definition =Пусть дан матроид <tex>M = (yS, z\mathcal{I}): </tex> и независимый сет <tex>I \in \mathcal{I}</tex>. Тогда '''граф замен''' <tex>D_{M}(I)</tex> (или просто <tex>D(I)</tex>) {{---}} это двудольный граф с долями <tex>I</tex> и <tex>S \setminus I</tex> с рёбрами между <tex>y \in I, z </tex> и <tex>x \in S \setminus I, </tex> если <tex> I \setminus - y + x \cup z in \in I_1mathcal{I} </tex>, }}

Докажем единственность.:Пусть существует другое паросочетание <tex>(z'\langle a_i, y')b_{j_i} \rangle</tex>. Тогда пусть <tex>i_0 = \min \{ i \: y' \in I, z' mid \in S : j_i < i \setminus I}</tex>. :Обозначим <tex>j_{i_0}</tex> как <tex>i_1</tex>. Заметим, что <tex>i_1 < i_0</tex> (так как <tex>j_{i_0} < i_0 </tex> по определению <tex>i_0</tex>) и поэтому не может быть <tex>j_{i_1} < j_{i_0}</tex>, ведь <tex>i_0</tex> — минимальное из соответствующего множества. Так же невозможно <tex>j_{i_1} = j_{i_0}</tex>, поскольку тогда <tex>a_{i_0}</tex> и <tex>a_{i_1}</tex> имели бы одинаковую пару. :Следовательно, <tex>j_{i_1} > j_{i_0}</tex> (рис. 2). Это значит, что существует путь <tex>P_1 = (a_1, b_1, I \setminus y' ldots, a_{i_1}, b_{j_{i_1}}, a_{j_{i_1} + 1}, \cup z' \in I_2ldots, a_k, b_k )</tex> короче, чем <tex>P</tex>, что противоречит тому, что <tex>P</tex>{{---}} кратчайший путь.}}

{{Лемма|about=о паросочетании в графе замен|statement= Пусть <tex>M = \langle X,\mathcal{I} \rangle </tex> &mdash; [[Определение матроида|матроид]]. Множества <tex>A, B \in \mathcal{I}</tex> {{---}} независимы, причем <tex>|A| =|B|</tex>. Тогда двудольный граф <tex>D_{M}(A)</tex> содержит полное паросочетание на <tex>A \bigtriangleup B</tex>.|proof= Источник  Индукция по <tex>|A \bigtriangleup B|</tex>. * '''База :При <tex>|A \bigtriangleup B| = 0 </tex> имеем пустое паросочетание.  * '''Переход:Пусть верно для <tex>|A \bigtriangleup B| = N</tex>.:Пусть <tex>k = |A| = |B|</tex> и <tex>|A \bigtriangleup B| \geqslant 1</tex>. :Рассмотрим матроид <tex>M_1 =\langle X, \{ A \mid A \in \mathcal{I}, |A| \leqslant k \} \rangle</tex>. Множества <tex>A, B \in \mathcal{I}</tex>, <tex>|A| =|B|</tex> и матроид <tex>M_1</tex> не содержит множеств больших, чем <tex>A</tex>, а значит они являются базами для матроида <tex>M_1</tex>. :По [[Теорема о базах|сильной теореме о базах]]: <tex>\forall x \in A \setminus B: \exists y \in B \setminus A : (A \setminus x) \cup y \in \mathcal{I}</tex> и <tex>(B \setminus y) \cup x \in \mathcal{I}</tex> :Из этого следует, что множества <tex>A' = (A \setminus x) \cup y </tex> и <tex>B' = (B \cup x) \setminus y</tex> являются независимыми, а также базами <tex>M_1</tex>. Заметим, что <tex>|A'\bigtriangleup B'| < |A \bigtriangleup B|</tex>, <tex>|A' \bigtriangleup B'| = N</tex>, <tex>|A \bigtriangleup B| = N+1 </tex>. По предположению индукции у <tex> |A' \bigtriangleup B'|</tex> есть полное паросочетание. :По [[Теорема о базах|теореме о базах]] <tex>\forall x \in A \setminus B: \exists y \in B \setminus A : (A \setminus x) \cup y \in \mathcal{I}</tex>, следовательно по определению графа <tex>D_M(A), (x, y) \in D_M(A)</tex>. Тогда <tex>N \cup {(x, y)}</tex> составляет полное паросочетание на <tex>|A \bigtriangleup B|</tex>. Индукционный переход доказан. }} ==Лемма о единственном паросочетании в графе замен=={{Утверждение|statement=Пусть [[Двудольные_графы_и_раскраска_в_2_цвета|двудольный граф]] <tex>G</tex> содержит единственное [[Связь_максимального_паросочетания_и_минимального_вершинного_покрытия_в_двудольных_графах#Связь_максимального_паросочетания_и_минимального_вершинного_покрытия_в_двудольном_графе|полное паросочетание]] <tex>M</tex>. Тогда можно упорядочить вершины левой <tex>(a_i \in A)</tex> и правой <tex>(b_i \in B)</tex> долей таким образом, что <tex>\forall j > i : (a_i b_j) \notin G</tex>. При этом рёбра паросочетания будут иметь вид <tex>(a_i b_i)</tex>. |proof=Индукция по <tex>|A|</tex>.<br/>* '''База : При <tex>|A|=1</tex> утверждение очевидно. <br/>* '''Переход: Пусть верно для <tex>|A|=n-1</tex>.: Рассмотрим <tex>|A|=n>1</tex>. Возьмем произвольную вершину в левой доле. Будем строить из неё [[Теорема о максимальном паросочетании и дополняющих цепях#Паросочетание в двудольном графе|чередующуюся цепь]], добавляя по очереди ребро, входящее в <tex>M</tex>, и ребро, не входящее в <tex>M</tex>. Заметим, что такой путь не содержит циклов (циклы нечётной длины невозможны, так как граф двудольный, циклы чётной длины отсутствуют из-за единственности паросочетания). Если последнее добавленное ребро не принадлежит <tex>M</tex>, то присоединим к цепи ребро из <tex>M</tex>, инцидентное последней вершине. Значит, построение цепи прервется только при добавлении ребра из <tex>M</tex> при достижении вершины [[Основные определения теории графов#Степень вершины|степени]] <tex>1</tex>. <br/>:Таким образом, последнее ребро в цепи имеет вид <tex>\langle a, b \rangle \in M</tex>, где <tex>a \in A, b \in B, \deg b = 1</tex>. Положим <tex>a_n=a, b_n=b</tex>. Для <tex>G \setminus \{a_n \cup b_n \}</tex> утверждение верно по предположению индукции. С другой стороны, так как <tex>\deg b_n = 1</tex>, то <tex> \langle a_i, b_n \rangle \notin G</tex> при <tex>i<n</tex>, поэтому для <tex>j = n</tex> утверждение также верно.<br/>}}  {{Лемма|about=о единственном паросочетании в графе замен|statement= Дан [[Определение матроида|матроид]] <tex>M = \langle X,I \rangle </tex>. Пусть двудольный граф <tex>G_M(A) = \{ (x, y) \mid x \in A, y \notin A, A \setminus x \cup y \in I \}</tex> содержит единственное полное паросочетание на <tex>A \bigtriangleup B</tex>, где <tex>A\in I</tex> и <tex>|A| = |B|</tex>. Тогда <tex>B \in I</tex>.|proof= [[Файл:Graph replacement.png|thumb|left|160px|]] Упорядочим вершины левой <tex>(y_i \in A \setminus B)</tex> и правой <tex>(z_j \in B \setminus A)</tex> долей таким образом, что <tex>\forall j > i : \langle y_i, z_j \rangle \notin G_M(A)</tex>. При таком упорядочивании ребра паросочетания имеют вид <tex> \langle y_i, z_i \rangle</tex>.:Требуется доказать, что <tex>B</tex> независимо. :Предположим обратное. Пусть <tex>B \notin I</tex>. Tогда существует [[Теорема о циклах|цикл]] <tex>C \subset B</tex>.<br/> Выберем минимальное <tex>i</tex> такое, что <tex>z_i \in C</tex>. Так как <tex>\forall j > i : \langle y_i, z_j \rangle \notin G_M(A)</tex>, то <tex>A \setminus y_i \cup z_j \notin I</tex>. Cледовательно, <tex>C \setminus z_i \subset \langle A \setminus y_i \rangle </tex>.  :По [[Оператор замыкания для матроидов#theorem|свойствам замыкания 1 и 3]] получаем:<tex>C \setminus z_i \subset \langle A \setminus y_i \rangle \Rightarrow \langle C \setminus z_i \rangle \subset \langle \langle A \setminus y_i \rangle \rangle \Rightarrow \langle C \setminus z_i \rangle \subset \langle A \setminus y_i \rangle</tex> <br/>Так как <tex>z_i \in \langle C \setminus z_i \rangle \subset \langle A \setminus y_i \rangle</tex>, то <tex>A \setminus y_i \cup z_i \notin I</tex>, то есть в <tex>G_M(A)</tex> не существует ребра <tex>\langle y_i, z_i \rangle</tex>. :Но тогда, как было отмечено ранее, не существует полного паросочетания. Получили противоречие.}} ==См. также==* [[Пересечение матроидов, определение, примеры]]* [[Алгоритм построения базы в пересечении матроидов]] == Источники информации ==*[https://courses.engr.illinois.edu/cs598csc/sp2010/Lectures/Lecture17.pdf Chandra Chekuri'' — Combinatorial Optimization]*[http://math.mit.edu/~goemans/18438F09/lec11.pdf Michel X. Goemans — Matroid Intersection]*[http://www.cs.illinois.edu/class/sp10/cs598csc/Lectures/Lecture17Lecture16.pdf '''Chandra Chekuri — Combinatorial Optimization'''], с. 2-3.6