Изменения

'''Граф замен''' (англ ''exchange graph'') {{---}} специальный [[Файл:Graph_DY.pngОсновные определения теории графов|400px|thumb|rightориентированный двудольный граф]], фигурирующий в [[Теорема Эдмондса-Лоулера|Граф замен <tex>D_{M_1, M_2}(I)</tex>теореме Эдмондса-Лоулера]].

Пусть даны матроиды <tex>M_1 = \langle S, \mathcal{I}_1 \rangle</tex>, <tex>M_2 = \langle S, \mathcal{I}_2 \rangle</tex>, множество <tex>(\mathcal{I}_1 \cap \mathcal{I}_2)</tex>. Введем граф замен. {{Определение|definition ='''Граф замендля двух матроидов''' — специальный ориентированный двудольный <tex>D_{M_1, M_2}(I)</tex> {{---}} граф, фигурирующий левой долей которого являются элементы множества <tex>I</tex>, правой — все остальные элементы <tex>S</tex> и в [[Теорема Эдмондса-Лоулера|теореме Эдмондса-Лоулера]].котором проведены ребра <tex>(y, z): y \in I, z \in S \setminus I, I \setminus y \cup z \in \mathcal{I}_1</tex>, а также <tex>(z', y'): y' \in I, z' \in S \setminus I, I \setminus y' \cup z' \in \mathcal{I}_2</tex>}}

Пусть <tex>X_1 = \{z \in S \setminus I \mid I\cup z \in \mathcal{I}_1 \}, X_2 = \{z \in S \setminus I \mid I \cup z \in \mathcal{I}_2 \}, P</tex> — текущее независимое множество, построенное [[Алгоритм построения базы кратчайший путь в пересечении матроидов|алгоритмом]] для матроидов <tex>D_{M_1 = \langle S, I_1 \rangleM_2}(I)</tex>, из <tex>M_2 = \langle S, I_2 \rangleX_1</tex>. Введем граф замен в <tex>D_{M_1, M_2}(I)X_2</tex>, левой долей которого являются элементы множества . Тогда [[Алгоритм построения базы в пересечении матроидов|алгоритм]] с помощью этого пути либо определяет максимальность набора <tex>I</tex>, правой — все остальные элементы либо позволяет найти набор большей мощности.[[Файл:Graph_DY.png|400px|thumb|center|Граф замен <tex>SD_{M_1, M_2}(I)</tex>. Проведем все имеющиеся ребра ]]

{{Лемма |id= ==lemma==|about=о единственном паросочетании в подграфе замен, индуцированном кратчайшим путем|statement =Пусть дан двудольный граф замен. В его правой доле выделено два подмножества вершин <tex>(y, X_1 = \{z \in S \setminus I \mid I \cup z): y \in \mathcal{I}_1 \}, X_2 = \{z \in S \setminus I, \mid I \setminus y \cup z \in I_1\mathcal{I}_2 \}</tex>. <tex>P</tex> {{---}} кратчайший путь из <tex>X_1</tex> в <tex>X_2</tex>. <br><tex>G'</tex> {{---}} подграф <tex>G</tex>, включающий множество вершин, лежащих на пути <tex>P</tex>. Тогда в <tex>G'</tex> существует единственное [[Паросочетания: основные определения, теорема о максимальном паросочетании и дополняющих цепях#Паросочетание в двудольном графе|полное паросочетание]].|proof =[[Файл:Граф_индуцированный_кратчайшим_путем.png | thumb | left | Рис. 1]][[Файл:Фрагмент_паросочетания.png‎ | thumb | right | Рис. 2]]:Так как в правой доле полученного графа <tex>G'</tex> вершин на одну больше, чем в левой, добавим в <tex>G'</tex> фиктивную вершину и отнесем ее к левой доле. :Рассмотрим <tex>P = (a_1, b_1, a_2, b_2, \ldots , a_k, b_k)</tex> {{---}} кратчайший путь из условия, где <tex>a_1</tex> {{---}} фиктивная вершина (рис. 1). :В таком случае, полное паросочетание {{---}} это набор ребер <tex>\langle a_i,b_i \rangle</tex>.

Индукция по <tex>(z', y'): y' |A \in I, zbigtriangleup B|</tex>. * ' \in S \setminus I, I \setminus y' \cup z' База :При <tex>|A \in I_2bigtriangleup B| = 0 </tex>имеем пустое паросочетание.

}} ==Лемма о единственном паросочетании в графе замен=={{Утверждение|statement=Пусть [[Двудольные_графы_и_раскраска_в_2_цвета|двудольный граф]] <tex>G</tex> содержит единственное [[Связь_максимального_паросочетания_и_минимального_вершинного_покрытия_в_двудольных_графах#Связь_максимального_паросочетания_и_минимального_вершинного_покрытия_в_двудольном_графе|полное паросочетание]] <tex>X_1 M</tex>. Тогда можно упорядочить вершины левой <tex>(a_i \in A)</tex> и правой <tex>(b_i \in B)</tex> долей таким образом, что <tex>\forall j > i : (a_i b_j) \notin G</tex>. При этом рёбра паросочетания будут иметь вид <tex>(a_i b_i)</tex>. |proof= Индукция по <tex>|A|</tex>.<br/>* '''База : При <tex>|A|=1</tex> утверждение очевидно. <br/>* '''Переход: Пусть верно для <tex>|A|=n-1</tex>.: Рассмотрим <tex>|A|=n>1</tex>. Возьмем произвольную вершину в левой доле. Будем строить из неё [[Теорема о максимальном паросочетании и дополняющих цепях#Паросочетание в двудольном графе|чередующуюся цепь]], добавляя по очереди ребро, входящее в <tex>M</tex>, и ребро, не входящее в <tex>M</tex>. Заметим, что такой путь не содержит циклов (циклы нечётной длины невозможны, так как граф двудольный, циклы чётной длины отсутствуют из-за единственности паросочетания). Если последнее добавленное ребро не принадлежит <tex>M</tex>, то присоединим к цепи ребро из <tex>M</tex>, инцидентное последней вершине. Значит, построение цепи прервется только при добавлении ребра из <tex>M</tex> при достижении вершины [[Основные определения теории графов#Степень вершины|степени]] <tex>1</tex>. <br/>:Таким образом, последнее ребро в цепи имеет вид <tex>\{z langle a, b \rangle \in M</tex>, где <tex>a \in A, b \in S B, \deg b = 1</tex>. Положим <tex>a_n=a, b_n=b</tex>. Для <tex>G \setminus I \mid I {a_n \cup z b_n \in I_1 }</tex> утверждение верно по предположению индукции. С другой стороны, так как <tex>\deg b_n = 1</tex>, то <tex> \langle a_i, b_n \rangle \notin G</tex> при <tex>i<n</tex>, поэтому для <tex>j = n</tex> утверждение также верно.<br/>}}  {{Лемма|about=о единственном паросочетании в графе замен|statement= Дан [[Определение матроида|матроид]] <tex>M = \langle X, X_2 I \rangle </tex>. Пусть двудольный граф <tex>G_M(A) = \{z (x, y) \mid x \in S A, y \notin A, A \setminus x \cup y \in I \mid }</tex> содержит единственное полное паросочетание на <tex>A \bigtriangleup B</tex>, где <tex>A\in I </tex> и <tex>|A| = |B|</tex>. Тогда <tex>B \cup z in I</tex>.|proof= [[Файл:Graph replacement.png|thumb|left|160px|]] Упорядочим вершины левой <tex>(y_i \in A \setminus B)</tex> и правой <tex>(z_j \in I_2 B \setminus A)</tex> долей таким образом, что <tex>\forall j > i : \langle y_i, z_j \rangle \notin G_M(A)</tex>. При таком упорядочивании ребра паросочетания имеют вид <tex> \langle y_i, z_i \}rangle</tex>.:Требуется доказать, что <tex>B</tex> независимо. :Предположим обратное. Пусть <tex>B \notin I</tex>. Tогда существует [[Теорема о циклах|цикл]] <tex>C \subset B</tex>.<br/> Выберем минимальное <tex>i</tex> такое, Pчто <tex>z_i \in C</tex> — кратчайший путь в . Так как <tex>D_{M_1\forall j > i : \langle y_i, M_2}z_j \rangle \notin G_M(IA)</tex> из , то <tex>X_1A \setminus y_i \cup z_j \notin I</tex> в . Cледовательно, <tex>X_2C \setminus z_i \subset \langle A \setminus y_i \rangle </tex>. Тогда  :По [[Алгоритм построения базы в пересечении Оператор замыкания для матроидов#theorem|алгоритмсвойствам замыкания 1 и 3]] с помощью этого пути либо определяет максимальность набора получаем:<tex>C \setminus z_i \subset \langle A \setminus y_i \rangle \Rightarrow \langle C \setminus z_i \rangle \subset \langle \langle A \setminus y_i \rangle \rangle \Rightarrow \langle C \setminus z_i \rangle \subset \langle A \setminus y_i \rangle</tex> <br/>Так как <tex>z_i \in \langle C \setminus z_i \rangle \subset \langle A \setminus y_i \rangle</tex>, то <tex>A \setminus y_i \cup z_i \notin I</tex>, либо позволяет найти набор большей мощностито есть в <tex>G_M(A)</tex> не существует ребра <tex>\langle y_i, z_i \rangle</tex>. :Но тогда, как было отмечено ранее, не существует полного паросочетания. Получили противоречие.}} ==См. также==* [[Пересечение матроидов, определение, примеры]]* [[Алгоритм построения базы в пересечении матроидов]]

[[Категория: Пересечение матроидов]]