Граф замен — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
Строка 19: Строка 19:
 
{{Лемма
 
{{Лемма
 
|statement =
 
|statement =
Пусть дан двудольный [[Граф замен для двух матроидов|граф замен]]. В его правой доле можно выделить два подмножества вершин <tex>X_1 = \{z \in S \setminus I \mid I \cup z \in I_1 \}, X_2 = \{z \in S \setminus I \mid I \cup z \in I_2 \}</tex>. Пусть <tex>P</tex> — кратчайший путь из <tex>X_1</tex> в <tex>X_2</tex>. Рассмотрим сужение <tex>G'</tex> графа <tex>G</tex> на множество вершин, лежащих в пути <tex>P</tex>.
+
Пусть дан двудольный граф замен. В его правой доле можно выделить два подмножества вершин <tex>X_1 = \{z \in S \setminus I \mid I \cup z \in I_1 \}, X_2 = \{z \in S \setminus I \mid I \cup z \in I_2 \}</tex>. Пусть <tex>P</tex> — кратчайший путь из <tex>X_1</tex> в <tex>X_2</tex>. Рассмотрим сужение <tex>G'</tex> графа <tex>G</tex> на множество вершин, лежащих в пути <tex>P</tex>.
 
<br>Тогда в <tex>G'</tex> существует единственное [[Паросочетания: основные определения, теорема о максимальном паросочетании и дополняющих цепях#Паросочетание в двудольном графе|полное паросочетание]].
 
<br>Тогда в <tex>G'</tex> существует единственное [[Паросочетания: основные определения, теорема о максимальном паросочетании и дополняющих цепях#Паросочетание в двудольном графе|полное паросочетание]].
 
|proof =
 
|proof =

Версия 11:52, 10 апреля 2016

Граф замен [math]D_{M_1, M_2}(I)[/math]

Граф замен — специальный ориентированный двудольный граф, фигурирующий в теореме Эдмондса-Лоулера.

Пусть [math]I[/math] — текущее независимое множество, построенное алгоритмом для матроидов [math]M_1 = \langle S, I_1 \rangle[/math], [math]M_2 = \langle S, I_2 \rangle[/math]. Введем граф замен [math]D_{M_1, M_2}(I)[/math], левой долей которого являются элементы множества [math]I[/math], правой — все остальные элементы [math]S[/math]. Проведем все имеющиеся ребра


[math](y, z): y \in I, z \in S \setminus I, I \setminus y \cup z \in I_1[/math],


а также


[math](z', y'): y' \in I, z' \in S \setminus I, I \setminus y' \cup z' \in I_2[/math].


Пусть [math]X_1 = \{z \in S \setminus I \mid I \cup z \in I_1 \}, X_2 = \{z \in S \setminus I \mid I \cup z \in I_2 \}, P[/math] — кратчайший путь в [math]D_{M_1, M_2}(I)[/math] из [math]X_1[/math] в [math]X_2[/math]. Тогда алгоритм с помощью этого пути либо определяет максимальность набора [math]I[/math], либо позволяет найти набор большей мощности.

Лемма:
Пусть дан двудольный граф замен. В его правой доле можно выделить два подмножества вершин [math]X_1 = \{z \in S \setminus I \mid I \cup z \in I_1 \}, X_2 = \{z \in S \setminus I \mid I \cup z \in I_2 \}[/math]. Пусть [math]P[/math] — кратчайший путь из [math]X_1[/math] в [math]X_2[/math]. Рассмотрим сужение [math]G'[/math] графа [math]G[/math] на множество вершин, лежащих в пути [math]P[/math].
Тогда в [math]G'[/math] существует единственное полное паросочетание.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
Рис. 1
Рис. 2

Строго говоря, утверждение теоремы не совсем корректно, так как в правой доле полученного графа [math]G'[/math] вершин на одну больше, чем в левой. Поэтому добавим в [math]G'[/math] фиктивную вершину и отнесем ее к левой доле. Пусть путь [math]P = (a_1, b_1, a_2, b_2, \ldots , a_k, b_k)[/math], где [math]a_1[/math] — фиктивная вершина (рис. 1).

Существование полного паросочетания очевидно — это ребра [math](a_i,b_i)[/math].

Предположим, что существует другое паросочетание [math](a_i, b_{j_i})[/math]. Тогда пусть [math]i_0 = \min \{ i \: \mid \: j_i \lt i \}[/math]. Обозначим [math]j_{i_0}[/math] как [math]i_1[/math]. Заметим, что [math]i_1 \lt i_0[/math] и поэтому не может быть [math]j_{i_1} \lt i_1[/math], ведь [math]i_0[/math] — минимальное из соответствующего множества. Так же невозможно [math]j_{i_1} = i_1[/math], поскольку тогда [math]a_{i_0}[/math] и [math]a_{i_1}[/math] имели бы одинаковую пару. Следовательно, [math]j_{i_1} \gt i_1[/math] (рис. 2). Это значит, что существует путь [math]P_1 = (a_1, b_1, \ldots, a_{i_1}, b_{j_{i_1}}, a_{j_{i_1} + 1}, \ldots, a_k, b_k )[/math] короче, чем [math]P[/math].

Противоречие.
[math]\triangleleft[/math]

Источники информации