Изменения

Примером группы == Примеры групп ===== Группа целых чисел <tex>\mathbb{Z}</tex> ===Множество целых чисел с обычной операцией сложения образуют аддитивную группу. Нейтральный элемент {{---}} 0, обратным к <tex>a</tex> является множество действительных <tex>-a</tex>. === Группа остатков по модулю <tex>n</tex> {{---}} <tex>\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}</tex> ===Множество целых чисел от нуля до <tex>n-1</tex> включительно с операцией сложения по модулю <tex>n</tex> образует абелеву группу.Пишут:<tex>3+4\equiv 2 \mod 5</tex>.Нейтральным элементом является 0, обратным к <tex>a</tex> является <tex>n-a</tex>. == Примеры неабелевых групп ===== Группа движений плоскости <tex>Isom(\mathbb{R}^2)</tex> ===Рассмотрим плоскость <tex>\mathbb{R}^2</tex> с введенной на ней метрикой <tex>\rho</tex>. Биективное отображение <tex>\phi:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}^2</tex> называется движением (изометрией), если оно сохраняет расстояния::<tex>\forall x,y\in\mathbb{R}^2 : \rho(\phi(x),\phi(y)) = \rho(x,y)</tex>.Множество всех движений плоскости с операцией композиции отображений образует группу движений плоскости. Нейтральный элемент {{---}} тождественное отображение. Обратный {{---}} обратное отображение. === Группа симметрий фигуры ===Если на плоскости (или вообще в любом [[метрическое пространство|метрическом пространстве]]) рассмотреть множество точек <tex>F</tex>, то можно выделить подмножество <tex>G</tex> всех движений данного пространства, переводящих <tex>F</tex> в себя. <tex>G</tex> c вместе с операцией сложения композиции отображений образуют группу симметрий фигуры <tex>F</tex>. === Группа перестановок <tex>S_n</tex> (симметрическая группа степени <tex>n</tex>) ===Рассмотрим множество <tex>S_n</tex> всех биекций множества <tex>A=\lbrace 1,2,...,n\rbrace</tex> в себя. Вместе с операцией композиции отображений оно образует группу перестановок <tex>S_n</tex>. Порядок <tex>S_n</tex> равен <tex>n!</tex>.Таким образом, группа перестановок является конечной неабелевой группой. Для перестановки вводят понятие знака (четности) перестановки. Перестановка называется четной (знак +1), если осуществляется четным числом транспозиций, и нечетной(знак -1) в противном случае. При композиции перестановок их знаки перемножаются. === Группа четных перестановок <tex>A_n</tex> (но знакопеременная группа степени <tex>n</tex>) ===Образована всеми перестановками со знаком +1. Композиция не выводит из множества, т.к. при композиции знаки перестановок перемножаются. === Группа невырожденных матриц(общая линейная группа) <tex>n\times n</tex> - <tex>GL_n (GL(n), GL(\mathbb{K},n))</tex> ===Невырожденные матрицы над [[поле|полем]] <tex>\mathbb{K}</tex> (<tex>\mathbb{R},\mathbb{C},\mathbb{Z}_p...</tex>) вместе с операцией матричного умножения образуют группу. Нейтральным элементом является единичная матрица, обратным {{-- 0 -}} обратная матрица. === Группа матриц <tex>n\times n</tex> с единичным определителем (специальная линейная группа) - <tex>SL_n (SL(n), SL(\mathbb{K},n))</tex> ===Поскольку при перемножении матриц перемножаются и их определители, матричное умножение не имеет в этом случае обратного элементавыводит из множества матриц с единичным определителем, и это множество образует группу (учитывая существование единичных и обратных матриц). Нейтральный элемент {{---}} единичная матрица, обратный {{---}} обратная матрица.