1632
правки
Изменения
м
Моноид == Примеры групп ===== Группа целых чисел <tex>\langle Gmathbb{Z}</tex> ===Множество целых чисел с обычной операцией сложения образуют аддитивную группу. Нейтральный элемент {{---}} 0,\cdot\rangleобратным к <tex>a</tex> является <tex>-a</tex> называется '''группой''', если для каждого элемента существует обратный:.
где == Примеры неабелевых групп ===== Группа движений плоскости <tex>eIsom(\mathbb{R}^2)</tex> ===Рассмотрим плоскость <tex>\mathbb{R}^2</tex> с введенной на ней метрикой <tex>\rho</tex>. Биективное отображение <tex>\phi:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}^2</tex> называется движением (изометрией), если оно сохраняет расстояния::<tex>\forall x,y\in\mathbb{R}^2 : \rho(\phi(x),\phi(y)) = \rho(x,y)</tex>.Множество всех движений плоскости с операцией композиции отображений образует группу движений плоскости. Нейтральный элемент {{---}} тождественное отображение. Обратный {{--- нейтральный элемент моноида}} обратное отображение.
Обратный элемент единственен. Действительно=== Группа симметрий фигуры ===Если на плоскости (или вообще в любом [[метрическое пространство|метрическом пространстве]]) рассмотреть множество точек <tex>F</tex>, то можно выделить подмножество <tex>G</tex> всех движений данного пространства, пусть переводящих <tex>y_1F</tex> и в себя. <tex>y_2G</tex> -- два обратных к вместе с операцией композиции отображений образуют группу симметрий фигуры <tex>xF</tex> элемента. Тогда имеем:
Примером группы является множество действительных чисел Для перестановки вводят понятие знака (четности) перестановки. Перестановка называется четной (знак +1), если осуществляется четным числом транспозиций, и нечетной(знак -1) в противном случае. При композиции перестановок их знаки перемножаются. === Группа четных перестановок <tex>A_n</tex> (знакопеременная группа степени <tex>n</tex>) ===Образована всеми перестановками со знаком +1. Композиция не выводит из множества, т.к. при композиции знаки перестановок перемножаются. === Группа невырожденных матриц(общая линейная группа) <tex>n\times n</tex> - <tex>GL_n (GL(n), GL(\mathbb{K},n))</tex> ===Невырожденные матрицы над [[поле|полем]] <tex>\mathbb{K}</tex> (<tex>\mathbb{R},\mathbb{C},\mathbb{Z}_p...</tex> c ) вместе с операцией сложения матричного умножения образуют группу. Нейтральным элементом является единичная матрица, обратным {{---}} обратная матрица. === Группа матриц <tex>n\times n</tex> с единичным определителем (но специальная линейная группа) - <tex>SL_n (SL(n), SL(\mathbb{K},n))</tex> ===Поскольку при перемножении матриц перемножаются и их определители, матричное умножение не умножения выводит из множества матриц с единичным определителем, и это множество образует группу (учитывая существование единичных и обратных матриц). Нейтральный элемент {{---}} единичная матрица, обратный {{---}} обратная матрица. === Группа подстановок ===Подстановка {{--- 0 не имеет в этом случае обратного элемента}} взаимно однозначное отображение конечного множества на себя. Если некоторая совокупность подстановок замкнута относительно композиции отображений, определяющей бинарную операцию для подстановок на одном и том же множестве, то эта совокупность называется '''группой подстановок'''. == Cсылки ==[http://kirill.chuvilin.pro/images/4/49/%D0%94%D0%B8%D1%81%D0%BA%D1%80%D0%B0%D0%BD_(%D1%81%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D1%81%D1%82%D1%80_2)_-_%D0%A1%D0%B5%D0%BC%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D1%80_5.pdf Задания на группы]
rollbackEdits.php mass rollback
{{Определение|definition=[[Моноид]] <tex>\langle G,\cdot\rangle</tex> называется [[группа|группой]], если для каждого элемента существует обратный::<tex>\forall x\in G : \exists x^{-1} \in G : x\cdot x^{-1}=x^{-1}\cdot x=e</tex>где <tex>e</tex> {{---}} нейтральный элемент моноида.}}{{Утверждение|about=О единственности обратного элемента|statement=В разработкегруппе для каждого элемента существует единственный обратный элемент.|proof=Действительно, пусть <tex>y_1</tex> и <tex>y_2</tex> {{---}} два обратных к <tex>x</tex> элемента. Тогда имеем::<tex>y_1 = y_1\cdot e = y_1\cdot (x \cdot y_2) = (y_1\cdot x)\cdot y_2 = e\cdot y_2 = y_2</tex>}}
== Абелева группа =={{Main|Абелева группа}}{{Определение|definition=Группа <tex>G</tex> называется '''абелевой''', если ее операция коммутативна: для любых <tex>a,b\in G</tex> выполнено <tex>a\cdot b ==b\cdot a</tex>.}}
=== Группа остатков по модулю <tex>\forall x\in G : \exists x^n</tex> {{-1--}} <tex>\in G : xmathbb{Z}/n\cdot x^mathbb{-1Z}</tex> ===x^{Множество целых чисел от нуля до <tex>n-1}</tex> включительно с операцией сложения по модулю <tex>n</tex> образует абелеву группу.Пишут:<tex>3+4\equiv 2 \cdot x=emod 5</tex>.Нейтральным элементом является 0, обратным к <tex>a</tex> является <tex>n-a</tex>.
=== Группа перестановок <tex>S_n</tex>y_1 (симметрическая группа степени <tex>n</tex>) == y_1\cdot e = y_1\cdot (x \cdot y_2) Рассмотрим множество <tex>S_n</tex> всех биекций множества <tex>A= (y_1\cdot x)lbrace 1,2,...,n\cdot y_2 = e\cdot y_2 = y_2rbrace</tex> в себя. Вместе с операцией композиции отображений оно образует группу перестановок <tex>S_n</tex>. Порядок <tex>S_n</tex> равен <tex>n!</tex>.Таким образом, группа перестановок является конечной неабелевой группой.
[[Категория: Теория групп]]
