Группа — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Новая страница: «{{В разработке}} == Группа == Моноид <tex>\langle G,\cdot\rangle</tex> называется '''группой''', если для каждо…»)
 
Строка 1: Строка 1:
{{В разработке}}
+
{{Определение
 
+
|definition=
== Группа ==
+
[[Моноид]] <tex>\langle G,\cdot\rangle</tex> называется [[группа|группой]], если для каждого элемента существует обратный:
 
+
:<tex>\forall x\in G : \exists x^{-1} \in G : x\cdot x^{-1}=x^{-1}\cdot x=e</tex>
Моноид <tex>\langle G,\cdot\rangle</tex> называется '''группой''', если для каждого элемента существует обратный:
+
где <tex>e</tex> {{---}} нейтральный элемент моноида.
 
+
}}
<tex>\forall x\in G : \exists x^{-1} \in G : x\cdot x^{-1}=x^{-1}\cdot x=e</tex>
+
{{Утверждение
 
+
|about=О единственности обратного элемента
где <tex>e</tex> -- нейтральный элемент моноида.
+
|statement=В группу для каждого элемента существует единственный обратный элемент.
 
+
|proof=
Обратный элемент единственен. Действительно, пусть <tex>y_1</tex> и <tex>y_2</tex> -- два обратных к <tex>x</tex> элемента. Тогда имеем:
+
Действительно, пусть <tex>y_1</tex> и <tex>y_2</tex> {{---}} два обратных к <tex>x</tex> элемента. Тогда имеем:
 
+
:<tex>y_1 = y_1\cdot e = y_1\cdot (x \cdot y_2) = (y_1\cdot x)\cdot y_2 = e\cdot y_2 = y_2</tex>
<tex>y_1 = y_1\cdot e = y_1\cdot (x \cdot y_2) = (y_1\cdot x)\cdot y_2 = e\cdot y_2 = y_2</tex>
+
}}
  
 
Примером группы является множество действительных чисел <tex>\mathbb{R}</tex> c операцией сложения (но не умножения -- 0 не имеет в этом случае обратного элемента).
 
Примером группы является множество действительных чисел <tex>\mathbb{R}</tex> c операцией сложения (но не умножения -- 0 не имеет в этом случае обратного элемента).
  
 
[[Категория: Теория групп]]
 
[[Категория: Теория групп]]

Версия 09:54, 30 июня 2010

Определение:
Моноид [math]\langle G,\cdot\rangle[/math] называется группой, если для каждого элемента существует обратный:
[math]\forall x\in G : \exists x^{-1} \in G : x\cdot x^{-1}=x^{-1}\cdot x=e[/math]
где [math]e[/math] — нейтральный элемент моноида.
Утверждение (О единственности обратного элемента):
В группу для каждого элемента существует единственный обратный элемент.
[math]\triangleright[/math]

Действительно, пусть [math]y_1[/math] и [math]y_2[/math] — два обратных к [math]x[/math] элемента. Тогда имеем:

[math]y_1 = y_1\cdot e = y_1\cdot (x \cdot y_2) = (y_1\cdot x)\cdot y_2 = e\cdot y_2 = y_2[/math]
[math]\triangleleft[/math]

Примером группы является множество действительных чисел [math]\mathbb{R}[/math] c операцией сложения (но не умножения -- 0 не имеет в этом случае обратного элемента).