Группа — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
Строка 15: Строка 15:
 
Примером группы является множество действительных чисел <tex>\mathbb{R}</tex> c операцией сложения (но не умножения -- 0 не имеет в этом случае обратного элемента).
 
Примером группы является множество действительных чисел <tex>\mathbb{R}</tex> c операцией сложения (но не умножения -- 0 не имеет в этом случае обратного элемента).
  
=== Абелева группа ===
+
== Абелева группа ==
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition=
 
|definition=
Строка 21: Строка 21:
 
}}
 
}}
  
Примером абелевой(аддитивной) группы является группа вещественных чисел с операцией сложения. Примером неабелевой {{---}} группа обратимых матриц с операцией обычного матричного умножения.
+
Примером абелевой (аддитивной) группы является группа вещественных чисел с операцией сложения. Примером неабелевой {{---}} группа обратимых матриц с операцией обычного матричного умножения.
  
=== Конечная группа ===
+
== Конечная группа ==
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition=
 
|definition=
 
Группа называется '''конечной''', если множество ее элементов конечно. Мощность множества элементов группы <tex>G</tex> называют порядком группы и обозначают <tex>\vert G\vert</tex>.
 
Группа называется '''конечной''', если множество ее элементов конечно. Мощность множества элементов группы <tex>G</tex> называют порядком группы и обозначают <tex>\vert G\vert</tex>.
 
}}
 
}}
 +
 +
== Примеры групп ==
 +
=== Группа целых чисел <tex>\mathbb{Z}</tex> ===
 +
Множество целых чисел с обычной операцией сложения образуют аддитивную группу. Нейтральный элемент {{---}} 0, обратным к <tex>a</tex> является <tex>-a</tex>.
 +
 +
=== Группа остатков по модулю <tex>n</tex> {{---}} <tex>\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}</tex> ===
 +
Множество целых чисел от нуля до <tex>n-1</tex> включительно с операцией сложения по модулю <tex>n</tex> образует абелеву группу.
 +
Пишут
 +
:<tex>3+4\equiv 2 \mod 5</tex>.
 +
Нейтральным элементом является 0, обратным к <tex>a</tex> является <tex>n-a</tex>.
 +
 +
== Примеры неабелевых групп ==
 +
=== Группа движений плоскости <tex>Isom(\mathbb{R}^2)</tex> ===
 +
Рассмотрим плоскость <tex>\mathbb{R}^2</tex> с введенной на ней метрикой <tex>\rho</tex>. Биективное отображение <tex>\phi:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}^2</tex> называется движением (изометрией), если оно сохраняет расстояния:
 +
:<tex>\forall x,y\in\mathbb{R}^2 : \rho(\phi(x),\phi(y)) = \rho(x,y)</tex>.
 +
Множество всех движений плоскости с операцией композиции отображений образует группу движений плоскости. Нейтральный элемент {{---}} тождественное отображение. Обратный {{---}} обратное отображение.
 +
 +
=== Группа симметрий фигуры ===
 +
Если на плоскости (или вообще в любом [[метрическое пространство|метрическом пространстве]]) рассмотреть множество точек <tex>F</tex>, то можно выделить подмножество <tex>G</tex> всех движений данного пространства, переводящих <tex>F</tex> в себя. <tex>G</tex> вместе с операцией композиции отображений образуют группу симметрий фигуры <tex>F</tex>.
 +
 +
=== Группа перестановок <tex>S_n</tex> (симметрическая группа степени <tex>n</tex>) ===
 +
Рассмотрим множество <tex>S_n</tex> всех биекций множества <tex>A=\lbrace 1,2,...,n\rbrace</tex> в себя. Вместе с операцией композиции отображений оно образует группу перестановок <tex>S_n</tex>. Порядок <tex>S_n</tex> равен <tex>n!</tex>.
 +
Таким образом, группа перестановок является конечной неабелевой группой.
 +
 +
Для перестановки вводят понятие знака (четности) перестановки. Перестановка называется четной (знак +1), если осуществляется четным числом транспозиций, и нечетной(знак -1) в противном случае. При композиции перестановок их знаки перемножаются.
 +
 +
=== Группа четных перестановок <tex>A_n</tex> (знакопеременная группа степени <tex>n</tex>) ===
 +
Образована всеми перестановками со знаком +1. Композиция не выводит из множества, т.к. при композиции знаки перестановок перемножаются.
 +
 +
=== Группа невырожденных матриц(общая линейная группа) <tex>n\times n</tex> - <tex>GL_n (GL(n), GL(\mathbb{K},n))</tex> ===
 +
Невырожденные матрицы над [[поле|полем]] <tex>\mathbb{K}</tex> (<tex>\mathbb{R},\mathbb{C},\mathbb{Z}_p...</tex>) вместе с операцией матричного умножения образуют группу. Нейтральным элементом является единичная матрица, обратным {{---}} обратная матрица.
 +
 +
=== Группа матриц <tex>n\times n</tex> с единичным определителем (специальная линейная группа) - <tex>SL_n (SL(n), SL(\mathbb{K},n))</tex> ===
 +
Поскольку при перемножении матриц перемножаются и их определители, матричное умножение не выводит из множества матриц с единичным определителем, и это множество образует группу (учитывая существование единичных и обратных матриц). Нейтральный элемент {{---}} единичная матрица, обратный {{---}} обратная матрица.
  
 
[[Категория: Теория групп]]
 
[[Категория: Теория групп]]

Версия 10:20, 30 июня 2010

Определение:
Моноид [math]\langle G,\cdot\rangle[/math] называется группой, если для каждого элемента существует обратный:
[math]\forall x\in G : \exists x^{-1} \in G : x\cdot x^{-1}=x^{-1}\cdot x=e[/math]
где [math]e[/math] — нейтральный элемент моноида.
Утверждение (О единственности обратного элемента):
В группу для каждого элемента существует единственный обратный элемент.
[math]\triangleright[/math]

Действительно, пусть [math]y_1[/math] и [math]y_2[/math] — два обратных к [math]x[/math] элемента. Тогда имеем:

[math]y_1 = y_1\cdot e = y_1\cdot (x \cdot y_2) = (y_1\cdot x)\cdot y_2 = e\cdot y_2 = y_2[/math]
[math]\triangleleft[/math]

Примером группы является множество действительных чисел [math]\mathbb{R}[/math] c операцией сложения (но не умножения -- 0 не имеет в этом случае обратного элемента).

Абелева группа

Определение:
Группа [math]G[/math] называется абелевой, если ее операция коммутативна: для любых [math]a,b\in G[/math] выполнено [math]a\cdot b = b\cdot a[/math]. Абелевы группы иногда называют аддитивными, обозначая групповую операцию как [math]a+b[/math], обратный элемент как [math]-a[/math], нейтральный как [math]0[/math]. При этом запись [math]a-b[/math] понимают как [math]a+(-b)[/math].


Примером абелевой (аддитивной) группы является группа вещественных чисел с операцией сложения. Примером неабелевой — группа обратимых матриц с операцией обычного матричного умножения.

Конечная группа

Определение:
Группа называется конечной, если множество ее элементов конечно. Мощность множества элементов группы [math]G[/math] называют порядком группы и обозначают [math]\vert G\vert[/math].


Примеры групп

Группа целых чисел [math]\mathbb{Z}[/math]

Множество целых чисел с обычной операцией сложения образуют аддитивную группу. Нейтральный элемент — 0, обратным к [math]a[/math] является [math]-a[/math].

Группа остатков по модулю [math]n[/math][math]\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}[/math]

Множество целых чисел от нуля до [math]n-1[/math] включительно с операцией сложения по модулю [math]n[/math] образует абелеву группу. Пишут

[math]3+4\equiv 2 \mod 5[/math].

Нейтральным элементом является 0, обратным к [math]a[/math] является [math]n-a[/math].

Примеры неабелевых групп

Группа движений плоскости [math]Isom(\mathbb{R}^2)[/math]

Рассмотрим плоскость [math]\mathbb{R}^2[/math] с введенной на ней метрикой [math]\rho[/math]. Биективное отображение [math]\phi:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}^2[/math] называется движением (изометрией), если оно сохраняет расстояния:

[math]\forall x,y\in\mathbb{R}^2 : \rho(\phi(x),\phi(y)) = \rho(x,y)[/math].

Множество всех движений плоскости с операцией композиции отображений образует группу движений плоскости. Нейтральный элемент — тождественное отображение. Обратный — обратное отображение.

Группа симметрий фигуры

Если на плоскости (или вообще в любом метрическом пространстве) рассмотреть множество точек [math]F[/math], то можно выделить подмножество [math]G[/math] всех движений данного пространства, переводящих [math]F[/math] в себя. [math]G[/math] вместе с операцией композиции отображений образуют группу симметрий фигуры [math]F[/math].

Группа перестановок [math]S_n[/math] (симметрическая группа степени [math]n[/math])

Рассмотрим множество [math]S_n[/math] всех биекций множества [math]A=\lbrace 1,2,...,n\rbrace[/math] в себя. Вместе с операцией композиции отображений оно образует группу перестановок [math]S_n[/math]. Порядок [math]S_n[/math] равен [math]n![/math]. Таким образом, группа перестановок является конечной неабелевой группой.

Для перестановки вводят понятие знака (четности) перестановки. Перестановка называется четной (знак +1), если осуществляется четным числом транспозиций, и нечетной(знак -1) в противном случае. При композиции перестановок их знаки перемножаются.

Группа четных перестановок [math]A_n[/math] (знакопеременная группа степени [math]n[/math])

Образована всеми перестановками со знаком +1. Композиция не выводит из множества, т.к. при композиции знаки перестановок перемножаются.

Группа невырожденных матриц(общая линейная группа) [math]n\times n[/math] - [math]GL_n (GL(n), GL(\mathbb{K},n))[/math]

Невырожденные матрицы над полем [math]\mathbb{K}[/math] ([math]\mathbb{R},\mathbb{C},\mathbb{Z}_p...[/math]) вместе с операцией матричного умножения образуют группу. Нейтральным элементом является единичная матрица, обратным — обратная матрица.

Группа матриц [math]n\times n[/math] с единичным определителем (специальная линейная группа) - [math]SL_n (SL(n), SL(\mathbb{K},n))[/math]

Поскольку при перемножении матриц перемножаются и их определители, матричное умножение не выводит из множества матриц с единичным определителем, и это множество образует группу (учитывая существование единичных и обратных матриц). Нейтральный элемент — единичная матрица, обратный — обратная матрица.