Группы. Действие группы на множестве — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Новая страница: «{{Определение |id=group_action |neat = 1 |definition=Группа <tex>G</tex> действует на множестве <tex>X</tex>, если за…»)
 
Строка 2: Строка 2:
 
|id=group_action  
 
|id=group_action  
 
|neat = 1
 
|neat = 1
|definition=Группа <tex>G</tex> действует на множестве <tex>X</tex>, если задано отображение <tex>G \times X \rightarrow X</tex> (обозначается <tex>g \cdot x</tex>), такое что для любого <tex>x \in X</tex>, а также для любых <tex>g_1, g_2 \in G</tex> оно обладает свойствами:
+
|definition=Группа <tex>G</tex> '''действует на множестве''' <tex>X</tex>, если задано отображение <tex>G \times X \rightarrow X</tex> (обозначается <tex>g \cdot x</tex>), такое что для любого <tex>x \in X</tex>, а также для любых <tex>g_1, g_2 \in G</tex> оно обладает свойствами:
<ol>
+
# <tex>(g_1 \cdot g_2) \cdot x = g_1 \cdot (g_2 \cdot x)</tex>
<li><tex>(g_1 \cdot g_2) \cdot x = g_1 \cdot (g_2 \cdot x)</tex></li>
+
# <tex>\varepsilon \cdot x = x</tex>
<li><tex>\varepsilon \cdot x = x</tex></li>
 
</ol>
 
 
}}
 
}}
 +
 +
== Примеры ==
 +
* TODO
 +
 +
== Орбита и стабилизатор ==
 +
{{Определение
 +
|id=orbit
 +
|neat = 1
 +
|definition=Пусть группа <tex>G</tex> действует на множество <tex>X</tex>. Тогда '''орбитой''' элемента <tex>x \in X</tex> называется множество: <tex>Orb(x) = \{y \in X \mid \exists g \in G : g \cdot x = y\}</tex>
 +
}}
 +
 +
Иными словами, орбитой элемента множества <tex>X</tex> в группе <tex>G</tex> называется порожденный им класс эквивалентности по отношению <tex>\sim</tex>.

Версия 22:12, 25 декабря 2018

Определение:
Группа [math]G[/math] действует на множестве [math]X[/math], если задано отображение [math]G \times X \rightarrow X[/math] (обозначается [math]g \cdot x[/math]), такое что для любого [math]x \in X[/math], а также для любых [math]g_1, g_2 \in G[/math] оно обладает свойствами:
  1. [math](g_1 \cdot g_2) \cdot x = g_1 \cdot (g_2 \cdot x)[/math]
  2. [math]\varepsilon \cdot x = x[/math]


Примеры

  • TODO

Орбита и стабилизатор

Определение:
Пусть группа [math]G[/math] действует на множество [math]X[/math]. Тогда орбитой элемента [math]x \in X[/math] называется множество: [math]Orb(x) = \{y \in X \mid \exists g \in G : g \cdot x = y\}[/math]


Иными словами, орбитой элемента множества [math]X[/math] в группе [math]G[/math] называется порожденный им класс эквивалентности по отношению [math]\sim[/math].