Изменения

== ДНФ ==

'''Простой конъюнкцией''' (англ. ''inclusive conjunction'') или '''конъюнктом''' (англ. ''conjunct'') называется конъюнкция одной или нескольких переменных или их отрицаний, причём каждая переменная встречается не более одного раза.}}Простая конъюнкция* '''полная''', если в неё каждая переменная (или её отрицание) входит ровно <tex> 1 </tex> раз;* '''монотонная''', если она не содержит отрицаний переменных. {{Определение|definition ='''Дизъюнктивная нормальная форма, ДНФ ''' (Дизъюнктивная Нормальная Формаангл. ''disjunctive normal form, DNF'') — {{---}} нормальная форма, в которой [[Определение булевой функции|булева функция]] имеет вид дизъюнкции нескольких простых конъюнктов.

<tex>f(x,y,z) = (x \land y) \lor (y \land \overlineneg {z})</tex>.

'''Совершенная дизъюнктивная нормальная форма, СДНФ ''' (Совершенная Дизъюнктивная Нормальная Форма)англ. ''perfect disjunctive normal form, PDNF'' ) — это такая ДНФ, которая удовлетворяет удовлетворяющая условиям:* в ней нет одинаковых элементарных простых конъюнкций* в каждой конъюнкции нет одинаковых переменных,* каждая элементарная простая конъюнкция содержит каждый из аргументов функцииполная.

<tex>f(x,y,z) = (x \land \overlineneg {y} \land z) \lor (x \land y \land \overlineneg {z})</tex>. 

Для любой булевой функции <tex>f(\vec{x})</tex>, не равной тождественному нулю, существует СДНФ, ее задающая.

Для любой булевой функции выполняется следующее соотношение, называемое '''разложением Шеннона'''. <tex>f(\vec{x}) = \overline x_i \wedge f(x_1,..,x_{i-1},0,x_{i+1},..,x_n) \veex_i \wedge f(x_1,..,x_{i-1},1,x_{i+1},x_n)</tex> Данное соотношение легко проверить подстановкой всевозможных значений <tex>x_i</tex> (<tex>0</tex> и <tex>1</tex>). Эта формула позволяет выносить <tex>x_i</tex> за знак функции. Последовательно вынося <tex>x_1</tex>, <tex>x_2</tex>,.., <tex>x_n</tex> за знак <tex>f(\vec{x})</tex>, получаем следующую формулу : <tex> f(\vec{x}) = \overline x_1 \wedge \overline x_2 \wedge ...\wedge \overline x_{n-1} \wedge \overline x_n \wedge f(0,0,...,0,0)~\vee~</tex> <tex>\overline x_1 \wedge \overline x_2 \wedge ... \wedge \overline x_{n-1} \wedge x_n \wedge f(0,0,...,0,1) ~\vee~</tex>

<tex>... f(\vec{x}) = \neg x_i \wedge f(x_1, \ldots ,x_{i-1},0,x_{i+1}, \ldots ,x_n) \veex_i \wedge f(x_1, \ldots ,x_{i-1},1,x_{i+1}, \ldots ,x_n)</tex>.

Данное соотношение легко проверить подстановкой возможных значений <tex>~x_i</tex> (<tex>0</tex> и <tex>1</tex>). Эта формула позволяет выносить <tex>x_i</tex> за знак функции. Последовательно вынося <tex>x_1</tex>, <tex>x_2</tex>,.., <tex>x_n</tex> за знак <tex>f(\vec{x})</tex>, получаем следующую формулу: <tex> f(\vee~ vec{x}) = \neg x_1 \wedge \neg x_2 \wedge ... \ldots \wedge \neg x_{n-1} \wedge \overline neg x_n \wedge f(10,10,...\ldots,10,0) ~\vee~</tex>

<tex>\neg x_1 \wedge \neg x_2 \wedge \ldots \wedge \neg x_{n-1} \wedge x_n \wedge f(0,0,\ldots,0,1) ~\vee~ \\\ldots \\~\vee~ x_1 \wedge x_2 \wedge ... \ldots \wedge x_{n-1} \wedge \neg x_n \wedge f(1,1,...\ldots,1,0) ~\vee~\\ x_1 \wedge x_2 \wedge \ldots \wedge x_{n-1} \wedge x_n \wedge f(1,1,\ldots,1) </tex>

Т.к Так как применение данного соотношения к каждой из переменных увеличивает количество дизъюнктивных членов конъюнктов в два раза, то для функции от <tex>n</tex> переменных мы имеем <tex>2^n</tex> дизъюнктивных членовконъюнктов. Каждый из них соответствует значению функции на одном из <tex>2^n</tex> возможных наборов значений <tex> n </tex> переменных. Если на некотором наборе <tex>f(\vec{x})=0</tex>, то весь соответствующий дизъюнктивный член конъюнкт также равен нулю и из представления данной функции его можно исключить. Если же <tex> f(\vec{x})=1</tex>, то в соответствующем дизъюннктивном члене конъюнкте само значение функции можно опустить. В результате для произвольной функции была построена СДНФ.

==Алгоритм построения СДНФ по таблице истинности==* # В таблице истинности отмечаем те наборы переменных, на которых значение функции равно <tex> 1</tex>.* # Для каждого отмеченного набора записываем конъюнкцию всех переменных по следующему правилу : если значение некоторой переменной есть <tex> 1</tex>, то в конъюнкцию включаем саму переменную, иначе ее отрицание.* # Все полученные конъюнкции связываем операциями дизъюнкции.

==Примеры Пример построения СДНФ для некоторых функциймедианы==Стрелка Пирса: === Построение СДНФ для медианы от трех аргументов ===1. В таблице истинности отмечаем те наборы переменных, на которых значение функции равно <tex> x \downarrow y = (\overline{x} \land \overline{y})1 </tex>.

Медиана трёх{| class="wikitable" style="width: 10cm" border=1|+|-align="center" bgcolor=#EEEEFF|<tex>f(x,</tex>||<tex> y,</tex>||<tex> z) = (x </tex>|| <tex> \land y \land z) \lor (\overline{langle x} \land ,y \land ,z) \lor (x \land \overline{y} \land z) \lor (x \land y \land \overline{z})rangle </tex>|-align="center" bgcolor=#FFFFFF| 0 || 0 || 0 || 0|-align="center" bgcolor=#FFFFFF| 0 || 0 || 1 || 0|-align="center" bgcolor=#FFFFFF| 0 || 1 || 0 || 0|-align="center" bgcolor=#FFFFFF! 0 || 1 || 1 || 1|-align="center" bgcolor=#FFFFFF| 1 || 0 || 0 || 0|-align="center" bgcolor=#FFFFFF! 1 || 0 || 1 || 1|-align="center" bgcolor=#FFFFFF! 1 || 1 || 0 || 1|-align="center" bgcolor=#FFFFFF! 1 || 1 || 1 || 1|}

== Ссылки ==* [http://ru2.wikipedia.org/wiki/%D0%A1%D0%94%D0%9D%D0%A4 Википедия — свободная энциклопедия]* [httpДля каждого отмеченного набора записываем конъюнкцию всех переменных по следующему правилу:если значение некоторой переменной есть <tex> 1 <//dvo.sut.ru/libr/himath/w163rabk/index.htm Е.Л Рабкинtex>, то в конъюнкцию включаем саму переменную, Ю.Биначе ее отрицание. Фарфоровская — Дискретная математика]

== Пример построения СДНФ ==<center>{| class="wikitable" align="right" style="width:10cm16cm" border=1

! |<tex> x </tex>|| <tex> y </tex>|| <tex> z </tex>|| <xyztex> \langle x,y,z \rangle </tex> || |-align="center" bgcolor=#F0F0F0FFFFFF

|-align="center" bgcolor=#F0F0F0FFFFFF| 1 0 || 0 || 1 || 0 |||-align="center" bgcolor=#F0F0F0FFFFFF

|-align="center" bgcolor=#F0F0F0FFFFFF! 0 || 1 || 1 || 1 || <tex>(\overlineneg {x} \land y \land z)</tex>|-align="center" bgcolor=#F0F0F0FFFFFF

|-align="center" bgcolor=#F0F0F0FFFFFF! 1 || 0 || 1 || 1 || <tex>(x \land \overlineneg {y} \land z)</tex>|-align="center" bgcolor=#F0F0F0FFFFFF! 1 || 1 || 0 || 1 || <tex>(x \land y \land \overlineneg {z})</tex>|-align="center" bgcolor=#F0F0F0FFFFFF

3. Все полученные конъюнкции связываем операциями дизъюнкции: <tex>f(\langle x,y,z) \rangle = (x \land y \land z) \lor (\overlineneg {x} \land y \land z) \lor (x \land \neg {y} \land z) \lor (x \land y \land \neg {z})</tex>. === Построение СДНФ для медианы от пяти аргументов ==={| class="wikitable" style="width:16cm" border=1|+|-align="center" bgcolor=#EEEEFF|<tex> x_1 </tex>||<tex> x_2 </tex>||<tex> x_3 </tex>||<tex>x_4</tex>||<tex> x_5 </tex>||<tex> \langle x_1, x_2, x_3, x_4, x_5 \rangle </tex> |||-align="center" bgcolor=#FFFFFF| 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 |||-align="center" bgcolor=#FFFFFF| 0 || 0 || 0 || 0 || 1 || 0 |||-align="center" bgcolor=#FFFFFF| 0 || 0 || 0 || 1 || 0 || 0 |||-align="center" bgcolor=#FFFFFF| 0 || 0 || 0 || 1 || 1 || 0 |||-align="center" bgcolor=#FFFFFF| 0 || 0 || 1 || 0 || 0 || 0 |||-align="center" bgcolor=#FFFFFF| 0 || 0 || 1 || 0 || 1 || 0 |||-align="center" bgcolor=#FFFFFF| 0 || 0 || 1 || 1 || 0 || 0 |||-align="center" bgcolor=#FFFFFF! 0 || 0 || 1 || 1 || 1 || 1 || <tex>(\neg {x_1} \land \neg {x_2} \land x_3 \land x_4 \land x_5)</tex>|-align="center" bgcolor=#FFFFFF| 0 || 1 || 0 || 0 || 0 || 0 |||-align="center" bgcolor=#FFFFFF| 0 || 1 || 0 || 0 || 1 || 0 |||-align="center" bgcolor=#FFFFFF| 0 || 1 || 0 || 1 || 0 || 0 |||-align="center" bgcolor=#FFFFFF! 0 || 1 || 0 || 1 || 1 || 1 || <tex>(\neg {x_1} \land x_2 \land \neg {x_3} \land x_4 \land x_5)</tex>|-align="center" bgcolor=#FFFFFF| 0 || 1 || 1 || 0 || 0 || 0 |||-align="center" bgcolor=#FFFFFF! 0 || 1 || 1 || 0 || 1 || 1 || <tex>(\neg {x_1} \land x_2 \land x_3 \land \neg {x_4} \land x_5)</tex>|-align="center" bgcolor=#FFFFFF! 0 || 1 || 1 || 1 || 0 || 1 || <tex>(\neg {x_1} \land x_2 \land x_3 \land x_4 \land \neg {x_5})</tex>|-align="center" bgcolor=#FFFFFF! 0 || 1 || 1 || 1 || 1 || 1 || <tex>(\neg {x_1} \land x_2 \land x_3 \land x_4 \land x_5)</tex>|-align="center" bgcolor=#FFFFFF| 1 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 |||-align="center" bgcolor=#FFFFFF| 1 || 0 || 0 || 0 || 1 || 0 |||-align="center" bgcolor=#FFFFFF| 1 || 0 || 0 || 1 || 0 || 0 |||-align="center" bgcolor=#FFFFFF! 1 || 0 || 0 || 1 || 1 || 1 || <tex>(x_1 \land \neg {x_2} \land \neg {x_3} \land x_4 \land x_5)</tex>|-align="center" bgcolor=#FFFFFF| 1 || 0 || 1 || 0 || 0 || 0 |||-align="center" bgcolor=#FFFFFF! 1 || 0 || 1 || 0 || 1 || 1 || <tex>(x_1 \land \neg {x_2} \land x_3 \land \neg {x_4} \land x_5)</tex>|-align="center" bgcolor=#FFFFFF! 1 || 0 || 1 || 1 || 0 || 1 || <tex>(x_1 \land \neg {x_2} \land x_3 \land x_4 \land \neg {x_5})</tex>|-align="center" bgcolor=#FFFFFF! 1 || 0 || 1 || 1 || 1 || 1 || <tex>(x_1 \land \neg {x_2} \land x_3 \land x_4 \land x_5)</tex>|-align="center" bgcolor=#FFFFFF| 1 || 1 || 0 || 0 || 0 || 0 |||-align="center" bgcolor=#FFFFFF! 1 || 1 || 0 || 0 || 1 || 1 || <tex>(x_1 \land x_2 \land \neg {x_3} \land \neg {x_4} \land x_5)</tex>|-align="center" bgcolor=#FFFFFF! 1 || 1 || 0 || 1 || 0 || 1 || <tex>(x_1 \land x_2 \land \neg {x_3} \land x_4 \land \neg {x_5})</tex>|-align="center" bgcolor=#FFFFFF! 1 || 1 || 0 || 1 || 1 || 1 || <tex>(x_1 \land x_2 \land \neg {x_3} \land x_4 \land x_5)</tex>|-align="center" bgcolor=#FFFFFF! 1 || 1 || 1 || 0 || 0 || 1 || <tex>(x_1 \land x_2 \land x_3 \land \neg {x_4} \land \neg {x_5})</tex>|-align="center" bgcolor=#FFFFFF! 1 || 1 || 1 || 0 || 1 || 1 || <tex>(x_1 \land x_2 \land x_3 \land \neg {x_4} \land x_5)</tex>|-align="center" bgcolor=#FFFFFF! 1 || 1 || 1 || 1 || 0 || 1 || <tex>(x_1 \land x_2 \land x_3 \land x_4 \land \neg {x_5})</tex>|-align="center" bgcolor=#FFFFFF! 1 || 1 || 1 || 1 || 1 || 1 || <tex>(x_1 \land x_2 \land x_3 \land x_4 \land x_5)</tex>|} <tex> \langle x_1, x_2, x_3, x_4, x_5 \rangle = (\overline {x_1} \land \overline {x_2} \land x_3 \land x_4 \land x_5) \lor (\overline {x_1} \land x_2 \land \overline {x_3} \land x_4 \land x_5) \lor (\overline {x_1} \land x_2 \land x_3 \land \overline {x_4} \land x_5) \lor (\overline {x_1} \land x_2 \land x_3 \land x_4 \land \overline {x_5}) \lor (\overline {x_1} \land x_2 \land x_3 \land x_4 \land x_5) \lor (x_1 \land \overline {x_2} \land \overline {x_3} \land x_4 \land x_5) \lor (x_1 \land \overline {x_2} \land x_3 \land \overline {x_4} \land x_5) \lor (x_1 \land \overline {x_2} \land x_3 \land x_4 \land \overline {x_5}) \lor (x_1 \land \overline {x_2} \land x_3 \land x_4 \land x_5) \lor (x_1 \land x_2 \land \overline {x_3} \land \overline {x_4} \land x_5) \lor (x_1 \land x_2 \land \overline {x_3} \land x_4 \land \overline {x_5}) \lor (x_1 \land x_2 \land \overline {x_3} \land x_4 \land x_5) \lor (x_1 \land x_2 \land x_3 \land \overline {x_4} \land \overline {x_5}) \lor (x_1 \land x_2 \land x_3 \land \overline {x_4} \land x_5) \lor (x_1 \land x_2 \land x_3 \land x_4 \land \overline {x_5}) \lor (x_1 \land x_2 \land x_3 \land x_4 \land x_5)</tex>. ==Примеры СДНФ для некоторых функций==Стрелка Пирса: <tex> x \downarrow y = (\neg {x} \land \neg {y})</tex>. Исключающее или: <tex> x \oplus y \oplus z = (\overline{x} \land \overline{y} \land z) \lor (\overline{x} \land y \land \overline{z}) \lor (x \land \overline{y } \land \overline{z}) \lor (x \land y \land z)</tex>. == См. также == * [[Сокращенная и минимальная ДНФ]]* [[КНФ]] ==Источники информации ==* [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A1%D0%94%D0%9D%D0%A4 СДНФ — Википедия]* [http://dvo.sut.ru/libr/himath/w163rabk/index.htm Е.Л Рабкин, Ю.Б. Фарфоровская — Дискретная математика] [[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]] [[Категория: Булевы функции ]]