Двоичная куча — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
Строка 18: Строка 18:
 
===Восстановление свойств кучи===
 
===Восстановление свойств кучи===
  
Если в куче изменяется один из элементов, то она может перестать удовлетворять свойству упорядоченности. Для восстановления этого свойства служат процедуры '''Shift_Down''' (просеивание вниз) и '''Shift_Up''' (просеивание вверх). Если значение измененного элемента увеличивается, то свойства кучи восстанавливаются функцией '''Shift_Down(i)'''.
+
Если в куче изменяется один из элементов, то она может перестать удовлетворять свойству упорядоченности. Для восстановления этого свойства служат процедуры '''Sift_Down''' (просеивание вниз) и '''Sift_Up''' (просеивание вверх). Если значение измененного элемента увеличивается, то свойства кучи восстанавливаются функцией '''Sift_Down(i)'''.
Работа процедуры : если <tex>i</tex>-й элемент меньше, чем его сыновья, всё поддерево уже является кучей, и делать ничего не надо. В противном случае меняем местами <tex>i</tex>-й элемент с наименьшим из его сыновей, после чего выполняем '''Shift_Down(i)''' для этого сына.
+
Работа процедуры : если <tex>i</tex>-й элемент меньше, чем его сыновья, всё поддерево уже является кучей, и делать ничего не надо. В противном случае меняем местами <tex>i</tex>-й элемент с наименьшим из его сыновей, после чего выполняем '''Sift_Down(i)''' для этого сына.
 
Процедура выполняется за время <tex>O(\log{N})</tex>.
 
Процедура выполняется за время <tex>O(\log{N})</tex>.
  
 
<code>
 
<code>
Shift_Down(i)
+
Sift_Down(i)
 
   left = 2 * i // левый сын
 
   left = 2 * i // левый сын
 
   right = 2 * i + 1 // правый сын
 
   right = 2 * i + 1 // правый сын
Строка 37: Строка 37:
 
   If (min <> i)  
 
   If (min <> i)  
 
     Поменять A[i] и A[minimum]
 
     Поменять A[i] и A[minimum]
     Shift_Down(min)
+
     Sift_Down(min)
 
</code>
 
</code>
Если значение измененного элемента уменьшается, то свойства кучи восстанавливаются функцией'''Shift_Up(i)'''.
+
Если значение измененного элемента уменьшается, то свойства кучи восстанавливаются функцией'''Sift_Up(i)'''.
  
Работа процедуры : если элемент больше своего отца, условие 1 соблюдено для всего дерева, и больше ничего делать не нужно. Иначе, мы меняем местами его с отцом. После чего выполняем '''Shift_Up''' для этого отца. Иными словами, слишком большой элемент всплывает наверх.
+
Работа процедуры : если элемент больше своего отца, условие 1 соблюдено для всего дерева, и больше ничего делать не нужно. Иначе, мы меняем местами его с отцом. После чего выполняем '''Sift_Up''' для этого отца. Иными словами, слишком большой элемент всплывает наверх.
 
Процедура выполняется за время <tex>O(\log{N})</tex>.  
 
Процедура выполняется за время <tex>O(\log{N})</tex>.  
  
 
<code>
 
<code>
Shift_Up(i)
+
Sift_Up(i)
 
   If (A[i] < A[i / 2])
 
   If (A[i] < A[i / 2])
 
     Поменять A[i] и A[i / 2]
 
     Поменять A[i] и A[i / 2]
     Shift_Up(i / 2)
+
     Sift_Up(i / 2)
 
</code>
 
</code>
  
Строка 57: Строка 57:
 
# Значение корневого элемента (он и является минимальным) сохраняется для последующего возврата.
 
# Значение корневого элемента (он и является минимальным) сохраняется для последующего возврата.
 
# Последний элемент копируется в корень, после чего удаляется из кучи.
 
# Последний элемент копируется в корень, после чего удаляется из кучи.
# Вызывается '''Shift_Down(i)''' для корня.
+
# Вызывается '''Sift_Down(i)''' для корня.
 
# Сохранённый элемент возвращается.
 
# Сохранённый элемент возвращается.
 
<code>
 
<code>
Строка 64: Строка 64:
 
   A[1] = A[A.heap_size]
 
   A[1] = A[A.heap_size]
 
   A.heap_size = A.heap_size - 1
 
   A.heap_size = A.heap_size - 1
   Shift_Down(1)
+
   Sift_Down(1)
 
   return min
 
   return min
 
</code>
 
</code>
Строка 77: Строка 77:
 
   A.heap_size = A.heap_size + 1
 
   A.heap_size = A.heap_size + 1
 
   A[A.heap_size] = key
 
   A[A.heap_size] = key
   Shift_Up(A.heap_size)
+
   Sift_Up(A.heap_size)
 
</code>
 
</code>
  
 
== Источники ==
 
== Источники ==
 
* [http://ru.wikipedia.org/wiki/Min-heap Двоичная куча]
 
* [http://ru.wikipedia.org/wiki/Min-heap Двоичная куча]

Версия 20:55, 29 июня 2011

Определение

Определение:
Двоичная куча или пирамида — такое двоичное дерево, для которого выполнены три условия:
  • Значение (ключ) в любой вершине не больше, чем значения её потомков.
  • Полное двоичное дерево, у которого могут отсутствовать некоторые листья последнего слоя.
  • Последний слой заполняется слева направо.


Удобная структура данных для сортирующего дерева — массив [math]A[/math], у которого первый элемент, [math]A[1][/math] — элемент в корне, а потомками элемента [math]A[i][/math] являются [math]A[2i][/math] и [math]A[2i+1][/math]. Высота кучи определяется как высота двоичного дерева. То есть она равна количеству рёбер в самом длинном простом пути, соединяющем корень кучи с одним из её листьев. Высота кучи есть [math]O(\log{N})[/math], где [math]N[/math] — количество узлов дерева.

Базовые процедуры

Восстановление свойств кучи

Если в куче изменяется один из элементов, то она может перестать удовлетворять свойству упорядоченности. Для восстановления этого свойства служат процедуры Sift_Down (просеивание вниз) и Sift_Up (просеивание вверх). Если значение измененного элемента увеличивается, то свойства кучи восстанавливаются функцией Sift_Down(i). Работа процедуры : если [math]i[/math]-й элемент меньше, чем его сыновья, всё поддерево уже является кучей, и делать ничего не надо. В противном случае меняем местами [math]i[/math]-й элемент с наименьшим из его сыновей, после чего выполняем Sift_Down(i) для этого сына. Процедура выполняется за время [math]O(\log{N})[/math].

Sift_Down(i)

 left = 2 * i // левый сын
 right = 2 * i + 1 // правый сын
 // heap_size - количество элементов в куче
 If (left ≤ A.heap_size) and (A[left] < A[i])  
   min = left
 else
   min = i
 If (right ≤ A.heap_size) and (A[right] < A[i])  
   min = right
 else
   min = i
 If (min <> i) 
   Поменять A[i] и A[minimum]
   Sift_Down(min)

Если значение измененного элемента уменьшается, то свойства кучи восстанавливаются функциейSift_Up(i).

Работа процедуры : если элемент больше своего отца, условие 1 соблюдено для всего дерева, и больше ничего делать не нужно. Иначе, мы меняем местами его с отцом. После чего выполняем Sift_Up для этого отца. Иными словами, слишком большой элемент всплывает наверх. Процедура выполняется за время [math]O(\log{N})[/math].

Sift_Up(i)

 If (A[i] < A[i / 2])
   Поменять A[i] и A[i / 2]
   Sift_Up(i / 2)

Извлечение минимального элемента

Выполняет извлечение минимального элемента из кучи за время [math]O(\log{N})[/math]. Извлечение выполняется в четыре этапа:

  1. Значение корневого элемента (он и является минимальным) сохраняется для последующего возврата.
  2. Последний элемент копируется в корень, после чего удаляется из кучи.
  3. Вызывается Sift_Down(i) для корня.
  4. Сохранённый элемент возвращается.

extract_min()

 min = A[1]
 A[1] = A[A.heap_size]
 A.heap_size = A.heap_size - 1
 Sift_Down(1)
 return min

Добавление нового элемента

Выполняет добавление элемента в кучу за время [math]O(\log{N})[/math]. Добавление произвольного элемента в конец кучи, и восстановление свойства упорядоченности с помощью

Insert(key)

 A.heap_size = A.heap_size + 1
 A[A.heap_size] = key
 Sift_Up(A.heap_size)

Источники