Двоичная куча — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
Строка 65: Строка 65:
  
 
Элемент добавляется в конец кучи
 
Элемент добавляется в конец кучи
 +
 +
== Источники ==
 +
* [http://ru.wikipedia.org/wiki/Min-heap Двоичная куча]

Версия 06:26, 15 марта 2011

Эта статья находится в разработке!


Определение:
Двоичная куча или пирамида — такое двоичное дерево, для которого выполнены три условия:
  • Значение (ключ) в любой вершине не меньше, чем значения её потомков.
  • Каждый лист имеет глубину (расстояние до корня) либо [math]d[/math] либо [math]d-1[/math]. Иными словами, если назвать слоем совокупность вершин, находящихся на определённой глубине, то все слои, кроме, быть может, последнего, заполнены полностью.
  • Последний слой заполняется слева направо.


Удобная структура данных для сортирующего дерева — массив [math]A[/math], у которого первый элемент, [math]A[1][/math] — элемент в корне, а потомками элемента [math]A[i][/math] являются [math]A[2i][/math] и [math]A[2i+1][/math]. Высота кучи определяется как высота двоичного дерева. То есть она равна количеству рёбер в самом длинном простом пути, соединяющем корень кучи с одним из её листьев. Высота кучи есть [math]O(logN)[/math], где [math]N[/math] — количество узлов дерева.

Базовые процедуры

Восстановление свойств кучи

Если в куче изменяется один из элементов, то она может перестать удовлетворять свойству упорядоченности. Для восстановления этого свойства служит процедура Shift_Down(просеивание вниз). Она восстанавливает свойство кучи в дереве, у которого левое и правое поддеревья удовлетворяют ему. Эта процедура принимает на вход массив элементов [math]A[/math] и индекс [math]i[/math]. Она восстанавливает свойство упорядоченности во всём поддереве, корнем которого является элемент [math]A[i][/math]. Если [math]i[/math]-й элемент больше, чем его сыновья, всё поддерево уже является кучей, и делать ничего не надо. В противном случае меняем местами [math]i[/math]-й элемент с наибольшим из его сыновей, после чего выполняем Shift_Down для этого сына. Процедура выполняется за время [math]O(logN)[/math].

Shift_Down(i)

 left = 2 * i // левый сын
 right = 2 * i + 1 // правый сын
 // heap_size - количество элементов в куче
 If (left ≤ A.heap_size) and (A[left] < A[i])  
   min = left
 else
   min = i
 If (right ≤ A.heap_size) and (A[right] < A[i])  
   min = right
 else
   min = i
 If (min <> i) 
   Обменять A[i] и A[largest]
   Shift_Down(A, min)

Изменение значения элемента

После изменения [math]i[/math]-ого элемента вызывается функция Shift_Up, которая просеивает

Извлечение минимального элемента

Выполняет извлечение минимального элемента из кучи за время [math]O(logN)[/math]. Извлечение выполняется в четыре этапа:

  1. Значение корневого элемента (он и является минимальным) сохраняется для последующего возврата.
  2. Последний элемент копируется в корень, после чего удаляется из кучи.
  3. Вызывается Shift_Down для корня.
  4. Сохранённый элемент возвращается.

extract_min()

 min = A[1]
 A[1] = A[A.heap_size]
 A.heap_size = A.heap_size - 1
 Shift_Down(A, 1)
 return min

Добавление нового элемента

Элемент добавляется в конец кучи

Источники