172
правки
Изменения
→Схема
{{Определение
|definition='''Двоичный каскадный сумматор''' (англ. ''Binary adder'') {{---}} цифровая [[Реализация булевой функции схемой из функциональных элементов|схема]], осуществляющая сложение двух многоразрядных двоичных чисел, с ускоренным формированием разрядов переноса.
}}
Используемые обозначения: <tex>X_{i}, Y_{i}</tex> {{---}} <tex>i</tex>-ый разряд суммируемых чисел, <tex>C_{i}, C_{i+1}</tex> {{---}} биты переноса, <tex>F_{i}</tex> {{---}} результат сложения.
Рассмотрим один элемент [[Каскадный сумматор|линейного каскадного сумматора- Ripple-carry adder]]. В некоторых случаях бит переноса <tex>C_{i+1}</tex> зависит только от значений <tex>X_{i}</tex> и <tex>Y_{i}</tex>: * если <tex>X_{i} = Y_{i} = 1</tex>, то <tex>C_{i+1} = 1</tex>,* если <tex>X_{i} = Y_{i} = 0</tex>, то <tex>C_{i+1} = 0</tex>;
Иначе (<tex>X_i \neq Y_i</tex>) бит переноса не изменяется, то есть <tex>C_{i + 1} = C_i</tex>.
Три случая называются следующим образом:
* '''G'''<tex> \mathbf{g} \mathtt{enerate }</tex> {{---}} "''порождение" '' переноса,* '''K'''<tex> \mathbf{k} \mathtt{ill }</tex> {{---}} "''уничтожение" '' переноса,* '''P'''<tex> \mathbf{p} \mathtt{ropagate }</tex> {{---}} "''проталкивание" '' переноса.
Поскольку последовательное применение этих трёх действий над переносами принадлежит также одному из этих типов, то можно определить композицию действий над переносами. Обозначим композицию значком <tex>\otimes</tex> и построим таблицу значений (в столбце первый аргумент, в строке — второй):
[[Файл:Пример компазиции.png|right|430px450px|thumb|Пример композиции]]{| borderclass="1wikitable" align="center" style="color: blue; background-color:#ccffcc;" cellpadding="53" !colspan="20"|Таблица значений|-align="center"| <tex>\otimes</tex> !|| <tex> \mathbf{k !} </tex> || <tex> \mathbf{p !} </tex> || <tex> \mathbf{g} </tex> |-align="center" !| <tex> \mathbf{k } </tex> ||<tex>k </tex> ||<tex>k </tex> ||<tex>g</tex> |-align="center" !| <tex> \mathbf{p } </tex> ||<tex>k </tex> ||<tex>p </tex> ||<tex>g</tex> |-align="center" !| <tex> \mathbf{g } </tex> ||<tex>k </tex> ||<tex>g </tex> ||<tex>g</tex> |-align="center" |}
Поскольку функция ассоциативна, то можно распространить её на любое количество аргументов. Более того, поскольку для любого действия <tex>x</tex> выполняется равенство <tex>x \otimes p = x</tex>, то функцию от нескольких действий можно определить как "последнее не <tex>p</tex>".
== Схема ==
Сумматор состоит из двух частей. Первая часть {{---}} это группа полных сумматоров, вычисляющих ответ. Вторая часть {{---}} [[Дерево_отрезков._Построение|дерево отрезков]], с помощью которого вычисляется бит переноса.
[[Файл:Двоичный_каскадный_сумматор.png|450px|left|thumb|Схема двоичного каскадного сумматора]]
''' Обозначения '''
* "<tex>+ </tex>" {{---}} полный сумматор, вычисляет результат сложения.,* <tex>\bigotimes</tex> вычисляет композицию {{---}} блок вычисления композиции двух переносов.,* <tex>\bigodot</tex> возвращает {{---}} блок вычисления <tex>C_{i}</tex>, старший бит старшего бита сумматора.
== Схемная сложность ==
Дерево отрезков вычисляет биты переноса за <tex>O(\log N)</tex>, оставшиеся действия выполняются за <tex>O(1)</tex>. Суммарное время работы {{---}} <tex>O(\log N)</tex>.
== Ссылки См. также ==* [http://rain.ifmo.ru/cat/view.php/vis/arithmetics/binary-addition-2002/algorithm Дискретная математика: алгоритмы[Каскадный сумматор]]*[[Сумматор]]* [http://en.wikipedia.org/wiki/Adder_(electronics) Wikipedia[Троичный сумматор]]
[[Категория:Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория:Схемы из функциональных элементов]]
== Источники информации ==
* [http://bookfi.net/book/556972 Е. Угрюмов "Цифровая схемотехника" 2001г.]
* [http://bookfi.net/book/532753 Дк. Ф. Уэйкерли "Проектирование цифровых устройств, том 1." 2002г.]
* [http://bookfi.net/book/637011 М.И. Богданович "Цифровые интегральные микросхемы" 1996г.]
