Двойственное пространство — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Новая страница: «test»)
 
м (rollbackEdits.php mass rollback)
 
(не показано 6 промежуточных версий 4 участников)
Строка 1: Строка 1:
test
+
== Введение ==
 +
Введем понятия двойственного, к пространству <tex>\mathbb{R}^2</tex>, пространства. Для того чтобы избежать рассмотрения отдельных случаев, работаем в однородных координатах.
 +
Пока в конспекте есть недочеты.
 +
=== Определение ===
 +
{{Определение|definition=
 +
<b>Двойственным пространством</b> называется пространство линейных функционалов на линейном пространстве <tex>\mathbb{R}^2</tex>.
 +
}}
 +
Любой линейный функционал <tex>f</tex> можно представить как <tex>f((x, y)) := ax + b = cy</tex>. Это значит, каждому такому функционалу будет соответствовать точка в двойственном пространстве с однородными координатами <tex>(a, -b, c)</tex>. Таким образом, мы можем определить <i>дуальное преобразование</i> (<tex>p \mapsto p^\star</tex>)
 +
для прямой, как точку в двойственном пространстве.
 +
 
 +
{{Утверждение|statement=
 +
Дуальное преобразование от точки <tex>p = (p_x, p_y, p_z)</tex> в исходном пространстве дает прямую <tex>p^\star := (p_z y = p_x x - p_y)</tex> в двойственном.
 +
|proof=
 +
Расмотрим все прямые <tex>l</tex>, такие что <tex>p \in l</tex>. Более формально, пусть <tex>L = \{l : l = (a, b, c), \: cp_y = ap_x - b p_z\}</tex>.
 +
Для каждой можно выразить <tex>b</tex>: <tex>b p_z = ap_x - cp_y</tex>, сделаем замену <tex>\left[a := x, b := y\right]</tex> и получим, что все точки <tex>l^\star</tex>
 +
из <tex>L</tex> удовлетворяют уравнению прямой.
 +
}}
 +
 
 +
{{Теорема|statement=
 +
Пусть <tex>l</tex> - прямая, а <tex>p</tex> - точка, тогда:
 +
# <tex>p \in l \Leftrightarrow l^\star \in p^\star</tex>
 +
# <tex>p</tex> лежит над <tex>l</tex>, тогда и только тогда когда <tex>l^\star</tex> лежит над <tex>p^\star</tex>
 +
|proof=
 +
1. Пусть <tex>p \in l</tex>. Возьмем две точки <tex>p_1</tex> и <tex>p_2</tex> такие, что <tex>p_1, p_2 \in l</tex>. Тогда
 +
<tex>\text{rot}(p_1, p_2, p) = \begin{vmatrix}
 +
p_{1x} & p_{1y} & p_{1z} \\
 +
p_{2x} & p_{2y} & p_{2z} \\
 +
p_x & p_y & p_z
 +
\end{vmatrix} = 0</tex>. Воспользуемся леммой о предикате проверки расположения прямых. В двойственном пространстве точкам <tex>p, p_1, p_2</tex> будут соответствовать прямые с соответствующими коэффициентами. Так как этот предикат равен нулю, все три прямые пройдут через одну точку - <tex>l^\star</tex>, в силу подстановки коэффициентов. Обратное следствие верно в силу того, что второе сопряженное пространство есть исходное.
 +
2. Пусть <tex>rot(p_1, p_2, p) \geqslant 0</tex> и <tex> p_1 \geqslant p_2</tex>. Тогда, по лемме, <tex>p^\star</tex> будет выше, чем <tex>l^\star</tex>. Обратное аналогично.
 +
}}
 +
{{Утверждение|statement=
 +
Отрезок <tex>pq</tex> переходит в такое множество: <tex>P = \left\{t^\star = (x, y): \text{rot}(l^\star, p_1^\star, t^\star) > 0,  \text{rot}(l^\star, q_1^\star, t^\star) < 0 \right\}</tex>,
 +
где <tex>l</tex> - прямая на которой лежат <tex>p</tex> и <tex>q</tex>, а <tex>p_1^\star \in p^\star, q_1^\star \in q^\star, \text{rot}(l^\star, p_1^\star, q_1^\star) > 0</tex> - .
 +
|proof=
 +
Условие <tex>\text{rot}(l, p_1, q_1) > 0</tex> означает, что прямая <tex>q_1</tex> лежит выше точки пересечения <tex>p_1</tex> и <tex>l</tex>. Зафиксируем <tex>p_1</tex> и <tex>q_1</tex>. Рассмотрим прямую <tex>t</tex>, пересекающую <tex>pq</tex>. Так как <tex>t</tex> лежит выше точки пересечения <tex>p_1</tex> и <tex>l</tex>, то
 +
<tex>\text{rot}(l, p_1, t) > 0</tex>, Так как <tex>t</tex> лежит ниже точки пересечения <tex>q_1</tex> и <tex>l</tex>, то <tex>\text{rot}(l, q_1, t) < 0</tex>.
 +
}}
 +
 
 +
== Прикладной смысл двойственного пространства ==
 +
Двойственной пространство позволяет нам посмотреть на некоторые задачи с другой точки зрения. Ниже приведен список задач:
 +
# [[Пересечение_полуплоскостей,_связь_с_выпуклыми_оболочками|Построение пересечения полуплоскостей с помощью построения выпуклой оболочки в двойственном пространстве]]
 +
# Set of points to Arrangements of Lines // TODO

Текущая версия на 19:11, 4 сентября 2022

Введение

Введем понятия двойственного, к пространству [math]\mathbb{R}^2[/math], пространства. Для того чтобы избежать рассмотрения отдельных случаев, работаем в однородных координатах. Пока в конспекте есть недочеты.

Определение

Определение:
Двойственным пространством называется пространство линейных функционалов на линейном пространстве [math]\mathbb{R}^2[/math].

Любой линейный функционал [math]f[/math] можно представить как [math]f((x, y)) := ax + b = cy[/math]. Это значит, каждому такому функционалу будет соответствовать точка в двойственном пространстве с однородными координатами [math](a, -b, c)[/math]. Таким образом, мы можем определить дуальное преобразование ([math]p \mapsto p^\star[/math]) для прямой, как точку в двойственном пространстве.

Утверждение:
Дуальное преобразование от точки [math]p = (p_x, p_y, p_z)[/math] в исходном пространстве дает прямую [math]p^\star := (p_z y = p_x x - p_y)[/math] в двойственном.
[math]\triangleright[/math]

Расмотрим все прямые [math]l[/math], такие что [math]p \in l[/math]. Более формально, пусть [math]L = \{l : l = (a, b, c), \: cp_y = ap_x - b p_z\}[/math]. Для каждой можно выразить [math]b[/math]: [math]b p_z = ap_x - cp_y[/math], сделаем замену [math]\left[a := x, b := y\right][/math] и получим, что все точки [math]l^\star[/math]

из [math]L[/math] удовлетворяют уравнению прямой.
[math]\triangleleft[/math]
Теорема:
Пусть [math]l[/math] - прямая, а [math]p[/math] - точка, тогда:
  1. [math]p \in l \Leftrightarrow l^\star \in p^\star[/math]
  2. [math]p[/math] лежит над [math]l[/math], тогда и только тогда когда [math]l^\star[/math] лежит над [math]p^\star[/math]
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

1. Пусть [math]p \in l[/math]. Возьмем две точки [math]p_1[/math] и [math]p_2[/math] такие, что [math]p_1, p_2 \in l[/math]. Тогда [math]\text{rot}(p_1, p_2, p) = \begin{vmatrix} p_{1x} & p_{1y} & p_{1z} \\ p_{2x} & p_{2y} & p_{2z} \\ p_x & p_y & p_z \end{vmatrix} = 0[/math]. Воспользуемся леммой о предикате проверки расположения прямых. В двойственном пространстве точкам [math]p, p_1, p_2[/math] будут соответствовать прямые с соответствующими коэффициентами. Так как этот предикат равен нулю, все три прямые пройдут через одну точку - [math]l^\star[/math], в силу подстановки коэффициентов. Обратное следствие верно в силу того, что второе сопряженное пространство есть исходное.

2. Пусть [math]rot(p_1, p_2, p) \geqslant 0[/math] и [math] p_1 \geqslant p_2[/math]. Тогда, по лемме, [math]p^\star[/math] будет выше, чем [math]l^\star[/math]. Обратное аналогично.
[math]\triangleleft[/math]
Утверждение:
Отрезок [math]pq[/math] переходит в такое множество: [math]P = \left\{t^\star = (x, y): \text{rot}(l^\star, p_1^\star, t^\star) \gt 0, \text{rot}(l^\star, q_1^\star, t^\star) \lt 0 \right\}[/math], где [math]l[/math] - прямая на которой лежат [math]p[/math] и [math]q[/math], а [math]p_1^\star \in p^\star, q_1^\star \in q^\star, \text{rot}(l^\star, p_1^\star, q_1^\star) \gt 0[/math] - .
[math]\triangleright[/math]

Условие [math]\text{rot}(l, p_1, q_1) \gt 0[/math] означает, что прямая [math]q_1[/math] лежит выше точки пересечения [math]p_1[/math] и [math]l[/math]. Зафиксируем [math]p_1[/math] и [math]q_1[/math]. Рассмотрим прямую [math]t[/math], пересекающую [math]pq[/math]. Так как [math]t[/math] лежит выше точки пересечения [math]p_1[/math] и [math]l[/math], то

[math]\text{rot}(l, p_1, t) \gt 0[/math], Так как [math]t[/math] лежит ниже точки пересечения [math]q_1[/math] и [math]l[/math], то [math]\text{rot}(l, q_1, t) \lt 0[/math].
[math]\triangleleft[/math]

Прикладной смысл двойственного пространства

Двойственной пространство позволяет нам посмотреть на некоторые задачи с другой точки зрения. Ниже приведен список задач:

  1. Построение пересечения полуплоскостей с помощью построения выпуклой оболочки в двойственном пространстве
  2. Set of points to Arrangements of Lines // TODO