Двойственный граф планарного графа — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
м (Добавлены категории)
 
(не показаны 43 промежуточные версии 6 участников)
Строка 1: Строка 1:
{{В разработке}}
+
{{Определение
 +
|neat=neat
 +
|definition=Граф<ref>На самом деле, ''двойственный граф'' — '''псевдограф''', поскольку в нём могут быть петли и кратные рёбра.</ref> <tex>G'</tex> называется '''двойственным''' (англ. ''dual graph'') к [[Укладка графа на плоскости|планарному графу]] <tex>G</tex>, если:
 +
# Вершины <tex>G'</tex> соответствуют граням <tex>G</tex>.
 +
# Между двумя вершинами в <tex>G'</tex> есть ребро тогда и только тогда, когда соответствующие грани в <tex>G</tex> имеют общее ребро.
 +
}}
 +
[[Файл:Dual_graph_2.png|180px|thumb|right|Граф (белые вершины) и двойственный ему (серые вершины).]]
 +
<div style='clear:left;'></div>
  
Двойственный граф — это здорово!
+
 
 +
Чтобы для данного плоского графа <tex>G</tex> построить двойственный <tex>G'</tex>, необходимо поместить по вершине <tex>G'</tex> в каждую грань <tex>G</tex> (включая внешнюю), а затем, если две грани в <tex>G</tex> имеют общее ребро, соединить ребром соответствующие им вершины в <tex>G'</tex> (если грани имеют несколько общих рёбер, соответствующие вершины следует соединить несколькими параллельными рёбрами). В результате всегда получится плоский псевдограф.
 +
 
 +
Например, существуют графы, двойственные себе: — <tex>K_1</tex> и <tex>K_4</tex>. Далее мы убедимся, что среди полных графов только они обладают таким свойством.
 +
 
 +
 
 +
 
 +
== Свойства ==
 +
[[Файл:Treenflower new.png|250px|thumb|right|Дерево и двойственный к нему «цветок».‎]]
 +
* Если <tex>G'</tex> — ''двойственный'' к двусвязному графу <tex>G</tex>, то <tex>G</tex> — ''двойственный'' к <tex>G'</tex>.
 +
* У одного и того же графа может быть несколько ''двойственных'', в зависимости от конкретной укладки (см. картинку).
 +
* Поскольку любой трёхсвязный планарный граф допускает только одну укладку на сфере<ref>Харари, Ф. Теория графов. — М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2009. — Теорема 11.5 — С. 130. — ISBN 978­-5­-397­-00622­-4</ref>, у него должен быть единственный ''двойственный граф''.
 +
* [[Мост, эквивалентные определения|Мост]] переходит в петлю, а петля — в мост. Частный случай: полный граф <tex>K_2</tex>
 +
* Мультиграф, ''двойственный'' к дереву, — цветок.
 +
 
 +
 
 +
== Самодвойственные графы ==
 +
{{Определение
 +
|definition=Планарный граф называется '''самодвойственным''' (англ. ''self-dual graph''), если он изоморфен своему двойственному графу.
 +
}}
 +
<div style='clear:left;'></div>
 +
 
 +
 
 +
{|align="center"
 +
|-valign="top"
 +
|[[Файл:Wheel8_new2.png|500px|thumb|left|Колесо и двойственный ему граф {{---}} тоже колесо.]]
 +
|[[Файл:K4_new.png|250px|thumb|right|<tex>K_4</tex> (он же колесо).]]
 +
|}
 +
 
 +
 
 +
 
 +
{{Утверждение
 +
|neat=neat
 +
|statement=<tex>K_1</tex> и <tex>K_4</tex> — самодвойственные графы. Среди полных графов других самодвойственных нет.
 +
|proof=Проверить, что <tex>K_1</tex> и <tex>K_4</tex> полны и самодвойственны несложно. Докажем, что других нет.<br/>Поскольку грани графа переходят в вершины, количество вершин и граней в исходном графе должно совпадать, т.е. <tex>V = F</tex>.<br/>Подставив в [[Формула Эйлера|формулу Эйлера]] имеем: <tex>2V = E + 2 \Leftrightarrow V = \dfrac{E}{2} + 1</tex>.<br/>В полном графе <tex>E = \dfrac{V \cdot (V - 1)}{2}</tex>.<br/>Получаем квадратное уравнение: <tex>V^2 - 5V + 4 = 0</tex>.<br/>Его решения: <tex>V_1 = 1</tex> и <tex>V_2 = 4</tex>.<br/>Таким образом, чтобы ''полный'' граф был ''самодвойственным'', в нём должна быть ровно '''одна''' или '''четыре''' вершины.
 +
}}
 +
 
 +
<div style='clear: both;'><br/></div>
 +
{{Утверждение
 +
|neat=neat
 +
|statement=Все колёса самодвойственны.
 +
|proof=Это утверждение очевидно.<br/>Достаточно убедиться, что два варианта укладки колеса (вершина с большой степенью внутри или вершина с большой степенью снаружи) двойственны друг другу.
 +
}}
 +
 
 +
<div style="clear:both;"></div>
 +
 
 +
== См. также ==
 +
*[[Формула Эйлера]]
 +
*[[Укладка графа на плоскости]]
 +
*[[Гамма-алгоритм]]
 +
 
 +
== Примечания ==
 +
<references />
 +
 
 +
== Источники информации==
 +
* [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0%B2%D0%BE%D0%B9%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D0%B3%D1%80%D0%B0%D1%84 Википедия — Двойственный граф]
 +
* [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%BB%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D1%80%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D0%B3%D1%80%D0%B0%D1%84 Википедия Планарный граф]
  
 
[[Категория: Алгоритмы и структуры данных]]
 
[[Категория: Алгоритмы и структуры данных]]
 
[[Категория: Укладки графов]]
 
[[Категория: Укладки графов]]

Текущая версия на 16:09, 7 января 2016

Определение:
Граф[1] [math]G'[/math] называется двойственным (англ. dual graph) к планарному графу [math]G[/math], если:
  1. Вершины [math]G'[/math] соответствуют граням [math]G[/math].
  2. Между двумя вершинами в [math]G'[/math] есть ребро тогда и только тогда, когда соответствующие грани в [math]G[/math] имеют общее ребро.
Граф (белые вершины) и двойственный ему (серые вершины).


Чтобы для данного плоского графа [math]G[/math] построить двойственный [math]G'[/math], необходимо поместить по вершине [math]G'[/math] в каждую грань [math]G[/math] (включая внешнюю), а затем, если две грани в [math]G[/math] имеют общее ребро, соединить ребром соответствующие им вершины в [math]G'[/math] (если грани имеют несколько общих рёбер, соответствующие вершины следует соединить несколькими параллельными рёбрами). В результате всегда получится плоский псевдограф.

Например, существуют графы, двойственные себе: — [math]K_1[/math] и [math]K_4[/math]. Далее мы убедимся, что среди полных графов только они обладают таким свойством.


Свойства[править]

Дерево и двойственный к нему «цветок».‎
  • Если [math]G'[/math]двойственный к двусвязному графу [math]G[/math], то [math]G[/math]двойственный к [math]G'[/math].
  • У одного и того же графа может быть несколько двойственных, в зависимости от конкретной укладки (см. картинку).
  • Поскольку любой трёхсвязный планарный граф допускает только одну укладку на сфере[2], у него должен быть единственный двойственный граф.
  • Мост переходит в петлю, а петля — в мост. Частный случай: полный граф [math]K_2[/math]
  • Мультиграф, двойственный к дереву, — цветок.


Самодвойственные графы[править]

Определение:
Планарный граф называется самодвойственным (англ. self-dual graph), если он изоморфен своему двойственному графу.


Колесо и двойственный ему граф — тоже колесо.
[math]K_4[/math] (он же колесо).


Утверждение:
[math]K_1[/math] и [math]K_4[/math] — самодвойственные графы. Среди полных графов других самодвойственных нет.
[math]\triangleright[/math]
Проверить, что [math]K_1[/math] и [math]K_4[/math] полны и самодвойственны несложно. Докажем, что других нет.
Поскольку грани графа переходят в вершины, количество вершин и граней в исходном графе должно совпадать, т.е. [math]V = F[/math].
Подставив в формулу Эйлера имеем: [math]2V = E + 2 \Leftrightarrow V = \dfrac{E}{2} + 1[/math].
В полном графе [math]E = \dfrac{V \cdot (V - 1)}{2}[/math].
Получаем квадратное уравнение: [math]V^2 - 5V + 4 = 0[/math].
Его решения: [math]V_1 = 1[/math] и [math]V_2 = 4[/math].
Таким образом, чтобы полный граф был самодвойственным, в нём должна быть ровно одна или четыре вершины.
[math]\triangleleft[/math]

Утверждение:
Все колёса самодвойственны.
[math]\triangleright[/math]
Это утверждение очевидно.
Достаточно убедиться, что два варианта укладки колеса (вершина с большой степенью внутри или вершина с большой степенью снаружи) двойственны друг другу.
[math]\triangleleft[/math]

См. также[править]

Примечания[править]

  1. На самом деле, двойственный графпсевдограф, поскольку в нём могут быть петли и кратные рёбра.
  2. Харари, Ф. Теория графов. — М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2009. — Теорема 11.5 — С. 130. — ISBN 978­-5­-397­-00622­-4

Источники информации[править]