Двойственный граф планарного графа

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
Эта статья находится в разработке!


Определение
Граф[1] G′ называется двойственным к планарному графу G, если:
  1. Вершины G′ соответствуют граням G
  2. Между двумя вершинами в G′ есть ребро тогда и только тогда, когда соответствующие грани в G имеют общее ребро
Граф (белые вершины) и двойственный ему (полосатые вершины).


«…Для данного плоского графа G его двойственный граф G′ строится следующим образом: поместим в каждую область G (включая внешнюю) по одной вершине графа G′ и, если две области имеют общее ребро x, соединим помещенные в них вершины ребром x′, пересекающим только x. В результате всегда получится плоский псевдограф. Ясно, что G′ имеет петлю тогда и только тогда, когда в G есть концевая вершина; G′ имеет кратные рёбра тогда и только тогда, когда две области графа G содержат по крайней мере два общих ребра. Таким образом, двусвязный плоский граф имеет всегда в качестве двойственного или граф или мультиграф, в то время как двойственный граф трёхсвязного плоского графа всегда представляет собой граф. Другими примерами двойственных графов являются платоновы графы: тетраэдр — самодвойственный граф, куб и октаэдр — двойственные, так же как додекаэдр и икосаэдр…»[2].

Свойства

В верхнем двойственном графе есть вершина степени 6, а в нижнем — нет. Следовательно, они не изоморфны.
  • Если G′двойственный к двусвязному графу G, то Gдвойственный к G′
  • У одного и того же графа может быть несколько двойственных, в зависимости от конкретной укладки (см. картинку)
  • Мост переходит в петлю, а петля — в мост
  • Мультиграф, двойственный к дереву — цветок

Примечания

  1. На самом деле, двойственный графмультиграф, поскольку в нём могут быть петли и кратные рёбра
  2. Харари, Ф. Теория графов. —М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2009. — С. 138. — ISBN 978­-5­-397­-00622­-4