308
правок
Изменения
Нет описания правки
{{Определение
|about=1
|definition=
'''Двойственный матроид к <tex> M = \; \langle X, B \rangle</tex>''' - это матроид <tex>M^* = \; \langle X, B^* \rangle</tex>, где <tex> B^* = \; ({\overline {\beta} |\; \beta \in \mathcal B})</tex> - множество всех кобаз матроида <tex>M.</tex>
}}
{{Теорема
* 2. Пусть <tex> \overline{B_1}, \overline {B_2} \in B^*</tex> и <tex> p\in \overline{B_1}.</tex> Так как <tex> p\notin {B_1},</tex> то в <tex> B_1 \cup p </tex> имеется точно один цикл <tex>C</tex>. Поскольку цикл <tex>C</tex> не лежит в <tex>B_2</tex>, существует <tex>q \in C \cap \overline {B_2}.</tex> Множество <tex>(B_1 \cup p) \setminus q</tex> не содержит циклов, т.к. разрушен единственный цикл. Поэтому оно независимо и <tex>|(B_1 \cup p) \setminus q| = |B_1|.</tex> Следовательно, <tex> (B_1 \cup p) \setminus q</tex> - база. Тогда <tex>\overline {(B_1 \cup p \setminus q)} = \overline {(B_1 \cup p)} \cup q = (\overline {B_1} \setminus p) \cup q,</tex> где <tex>q \in \overline {B_2}.</tex> То есть выполняется вторая аксиома баз.
}}
{{Определение
|about=2
|definition=
'''Двойственный матроид к <tex> M = \; \langle X, I \rangle</tex>''' - это матроид <tex>M^* = \langle X, I^* \rangle</tex>, где <tex>I^* = \{A\ |\ \exists B \in \mathcal B, A \cap B = \varnothing\}</tex>
}}
{{Теорема
|statement=Определения 1 и 2 эквивалентны.
|proof=
Положим <tex> M^* = \; \langle X, I \rangle </tex>; <tex> M_1^* = \; \langle X, I_1 \rangle </tex> - двойственный к нему матроид по первому определению, <tex> M_2^* = \; \langle X, I_2 \rangle </tex> - по второму.
Требуется показать, что <tex> I_1 = I_2 </tex>
* <tex> A \in I_1 \Rightarrow A \in I_2 </tex>
*: Дополним <tex> A </tex> до базы (<tex> B </tex>). <tex>B \in I_1 \Rightarrow \overline B \in I </tex>. Поскольку <tex> B \cap \overline B = \varnothing </tex>, то <tex> B \in I_2 </tex>. Так как <tex> A \in B </tex>, то <tex> A \cap \overline B = \varnothing </tex>
* <tex> A \in I_2 \Rightarrow A \in I_1 </tex>
*:
}}
== См.также ==
*[[Аксиоматизация матроида базами]]
