Изменения
→См.также
{{Определение
|about=1
|definition=
'''Двойственный матроид ''' (англ. ''dual matroid'') к <tex> M = \; \langle X, \mathcal{B } \rangle</tex>''' {{--- }} это [[Определение_матроида | матроид ]] <tex>M^* _1 = \; \langle X, \mathcal B^* _1 \rangle</tex>, где <tex> \mathcal B^* _1 = \; (\{\overline {\beta} B |\; B \beta in \in mathcal B\})</tex> {{- --}} множество всех кобаз матроида <tex>M.</tex>
}}
{{Определение
|about=2
|definition=
'''Двойственный матроид''' к <tex> M = \; \langle X, I \rangle</tex> {{---}} это матроид <tex>M^*_2 = \langle X, I^*_2 \rangle</tex>, где <tex>I^*_2 = \{A\ |\ \exists B \in \mathcal B: \ A \cap B = \varnothing\}</tex>
}}
{{Теорема
|statement= Множество <tex>\mathcal B^*_1</tex> удовлетворяет [[Теорема_о_базах#base_theorem | аксиомам баз]].
|proof=
}}
{{Теорема
|statement=Матроиды <tex> M^*_1 </tex> и <tex> M^*_2 </tex> совпадают.
|proof=
Требуется доказать: <tex> I^*_1 = I^*_2. </tex>
* <tex> A \in I^*_1 \Rightarrow A \in I^*_2 </tex>
*: Для начала покажем от противного, что <tex> \exists B \in \mathcal B: \ A \subseteq B </tex>.
*:: Предположим <tex> S \in I </tex> {{---}} множество максимального размера среди таких, что <tex> A \subseteq S </tex>, причём <tex> S </tex> {{---}} не база. Возмём также какое-нибудь <tex> B \in \mathcal B</tex>.
*:: Раз <tex> S </tex> не база, то <tex> |S| < |B| </tex>. В таком случае по [[Определение_матроида | 3-ей аксиоме матроидов]] <tex> \exists b \in B: \ S \cup b \in I </tex>. Получили противоречие, поскольку <tex> S \cup b </tex> имеет большую мощность чем <tex> S </tex>.
*: Итак, возьмём <tex> B </tex> {{---}} базу <tex> M^*_1 </tex>, включающую в себя <tex> A </tex>. Согласно определению <tex> M^*_1 </tex> выполнено <tex>B \in \mathcal B_1 \Rightarrow \overline B \in \mathcal B </tex>. Поскольку <tex> B \cap \overline B = \varnothing, A \subseteq B </tex>, то <tex> A \cap \overline B = \varnothing </tex>. В таком случае по определению <tex> M^*_2 </tex> выполняется <tex> A \in I^*_2 </tex>.
* <tex> A \in I^*_2 \Rightarrow A \in I^*_1 </tex>
*: <tex> A \in I^*_2 </tex> означает, что <tex> \exists B \in \mathcal B: \ A \cap B = \varnothing </tex>. Последнее можно записать иначе: <tex> A \subseteq \overline B </tex>.
*: Кроме того <tex> B \in \mathcal B \Rightarrow \overline B \in \mathcal B_1 </tex> по определению <tex> M^*_1 </tex>. Получили <tex> A \subseteq \overline B \in \mathcal B_1 </tex>, откуда следует <tex> A \in I^*_1 </tex>.
}}
{{Теорема
|statement=[[Определение матроида|Матроид]], двойственный к [[Примеры матроидов|матричному]] над телом <tex>F</tex>, так же является матричным над телом <tex>F</tex>
|proof=
: Пусть <tex> M = \langle X, \mathcal{I} \rangle</tex> {{---}} произвольный матричный матроид над телом <tex>F</tex>, <tex> X = \{1,\ldots,m\} </tex>, <tex>r</tex> {{---}} его [[Ранговая функция, полумодулярность|ранговая функция]]. Рассмотрим сначала крайний случай [[Примеры матроидов|тривиального]] и (двойственного к нему) [[Примеры матроидов|полного]] матроида. Они, очевидно, представимы над телом <tex>F</tex> нулевой и единичной матрицей соответственно.
: Пусть теперь <tex>M</tex> {{---}} произвольный нетривиальный и не полный матричный матроид. Тогда <tex>M</tex> изоморфен матроиду столбцов некоторой <tex>(t \times m)</tex>-матрицы <tex>P</tex> над телом <tex>F</tex>. Т.к. матроид нетривиален и не полный, то <tex>rg(P) = r</tex> и <tex>0 < r < m </tex>.
: Рассмотрим следующую однородную систему уравнений над пространством векторов-столбцов <tex>F^m</tex>:
:: <tex>(1): PX=0</tex>.
: Для задания базиса ФСР этой системы нам достаточно<ref>[https://ru.wikipedia.org/wiki/Решение_систем_линейных_алгебраических_уравнений Википедия {{---}} Решение систем линейных алгебраических уравнений]</ref> <tex>m - r</tex> линейно независимых векторов. Пусть
:: <tex>(2): X_1, X_2,\ldots, X_{m-r}</tex>
:{{---}} базис пространства решений системы (1). Составим из этих столбцов <tex>(m \times (m - r))</tex>-матрицу <tex>Q=(X_1, X_2, \ldots, X_{m-r})</tex>. Покажем, что матроид <tex>M^*</tex> изоморфен матроиду строк матрицы <tex>Q</tex> над телом <tex>F</tex>. Для этого нам достаточно установить, что система каких-либо <tex>r</tex> столбцов матрицы <tex>P</tex> линейно независима тогда и только тогда, когда линейно независима дополняющая ее система <tex>m - r</tex> строк матрицы <tex>Q</tex>. Дополняющая система строк {{---}} это система строк, номера которых дополняют номера столбцов исходной системы столбцов до множества <tex>\{1,\ldots, m\}</tex>.
:<tex>\Longrightarrow</tex>
::Возьмем произвольную систему из r столбцов матрицы <tex>P</tex>. Для простоты обозначений будем считать, что взяты первые<tex>r</tex> столбцов (мы всегда можем переставить столбцы матрицы местами, не поменяв характера их линейной зависимости). Пусть <tex>P_1(t\times r)</tex> {{---}} подматрица матрицы <tex>P</tex>, составленная из взятых первых <tex>r</tex> столбцов. Рассмотрим однородную систему линейных уравнений над пространством векторов-столбцов <tex>F^r</tex>:
:::<tex>(3): P_1Y=0</tex>
:: Пусть столбцы матрицы <tex>P_1</tex> линейно зависимы. Тогда система (3) имеет ненулевое решение <tex>Y</tex>. Добавим к нему снизу <tex>m - r</tex> нулей, получим ненулевое решение <tex>X</tex> системы (1). Выразим <tex>X</tex> через базис (2) пространства решений системы (1):
:::<tex>(4): X=\alpha_1 X_1 + \alpha_2 X_2 + \ldots + \alpha_{m-r} X_{m-r}</tex>
:: где среди коэффициентов есть хотя бы один ненулевой элемент из <tex>F</tex>. Введем в рассмотрение столбцы
:::<tex>(5): X'_1, X'_2, \ldots, X'_{m-r}</tex>
:: из пространства <tex>F^{m-r}</tex>, полученные соответственно из столбцов <tex>X_1, X_2, \ldots, X_{m-r}</tex> отбрасыванием первых <tex>r</tex> компонент. Составим из этих "урезанных" столбцов <tex> ((m - r) \times (m - r))</tex>-матрицу <tex>Q_1 = (X'_1, X'_2, \ldots, X'_{m-r})</tex>. Матрица <tex>Q_1</tex> {{---}} это квадратная матрица порядка <tex>m-r</tex>, которая является подматрицей матрицы <tex>Q</tex> и расположена внизу матрицы <tex>Q</tex>. Из равенства (4) следует, что
::: <tex>(6): 0=\alpha_1 X'_1 + \alpha_2 X'_2 + \ldots + \alpha_{m-r} X'_{m-r}</tex>
:: т.е. система столбцов квадратной матрицы <tex>Q_1</tex> линейно зависима. Тогда линейно зависима и система строк этой матрицы, т.е. линейно зависима система из <tex>m - r</tex> последних строк матрицы <tex>Q</tex>. Что и требовалось доказать.
:<tex>\Longleftarrow</tex>
::Теперь докажем в обратную сторону. Пусть система каких-либо <tex>m - r</tex> строк матрицы <tex>Q</tex> линейно зависима. Для простоты обозначений будем считать, что эта система состоит из последних <tex> m - r </tex> строк матрицы <tex>Q</tex>. Тогда линейно зависима система (5) "урезанных" столбцов, составляющих матрицу <tex>Q_1</tex>. Следовательно, некоторая нетривиальная линейная комбинация (6) "урезанных" столбцов равна <tex>0</tex>. С помощью равенства (4) определим столбец <tex>X</tex>. Поскольку система столбцов (2) линейно независима, имеем <tex>X \ne 0</tex>. Столбец Х является решением системы (1), так как он равен линейной комбинации базиса пространства решений этой системы. Тогда столбец <tex>Y</tex>, полученный из столбца <tex>x</tex> отбрасыванием последних <tex>m - r</tex> нулевых компонент, является ненулевым решением системы (3). Следовательно, линейно зависима система из первых <tex>r</tex> столбцов матрицы <tex>P_1</tex>, что и требовалось доказать.
}}
== См.также ==
*[[Аксиоматизация матроида базами]]* [[Аксиоматизация матроида циклами]]* [[Теорема о базах]] == Примечания ==<references /> == Источники информации ==* [[wikipedia:ru:Матроид#Дополнительные_понятия | Википедия {{---}} Двойственный матроид]]* [[wikipedia:en:Dual matroid | Wikipedia {{---}} Dual matroid]]* ''Michel X. Goemans'' {{---}} Advanced Combinatorial Optimization, lection 8: Mathroids.* ''Асанов М. О., Баранский В. А., Расин В. В.'' {{---}} Дискретная математика: Графы, матроиды, алгоритмы. '''ISBN 978-5-8114-1068-2''' [[Категория:Алгоритмы и структуры данных]][[Категория:Матроиды]][[Категория:Основные факты теории матроидов]]
