Двойственный матроид — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
м
Строка 14: Строка 14:
 
#: Покажем, что в <tex> B_1 \cup p </tex> содержится ровно один цикл.
 
#: Покажем, что в <tex> B_1 \cup p </tex> содержится ровно один цикл.
 
#:: Так как <tex> p\notin {B_1}, </tex> то по определению базы <tex> B_1 \cup p \notin I </tex>, а значит существует цикл <tex>C \subseteq B_1 \cup p </tex>.  
 
#:: Так как <tex> p\notin {B_1}, </tex> то по определению базы <tex> B_1 \cup p \notin I </tex>, а значит существует цикл <tex>C \subseteq B_1 \cup p </tex>.  
#:: Убедимся также, что он единственный. Положим <tex> \exists C_1, C_2 \in \mathfrak C: \ C_1, C_2 \subseteq B_1 \cup p,\ C_1 \ne C_2 </tex>. Заметим, что <tex> p \in C_1, C_2 </tex>, в противном случае цикл не содержащий <tex> p </tex> был бы подмножеством <tex> B_1 </tex>, что невозможно. Следовательно по [[Теорема_о_циклах | 3-му свойству циклов]] <tex> \exists C_3 \in \mathfrak C: \ C_3 \subseteq (C_1 \cup C_2) \setminus p </tex>. Но помимо этого выполнено <tex> (C_1 \cup C_2) \setminus p \subseteq B_1 </tex> {{---}} противоречие.  
+
#:: Убедимся также, что он единственный. Положим <tex> \exists C_1, C_2 \in \mathfrak{C}: \ C_1, C_2 \subseteq B_1 \cup p,\ C_1 \ne C_2 </tex>. Заметим, что <tex> p \in C_1, C_2 </tex>, в противном случае цикл не содержащий <tex> p </tex> был бы подмножеством <tex> B_1 </tex>, что невозможно. Следовательно по [[Теорема_о_циклах | 3-му свойству циклов]] <tex> \exists C_3 \in \mathfrak{C}: \ C_3 \subseteq (C_1 \cup C_2) \setminus p </tex>. Но помимо этого выполнено <tex> (C_1 \cup C_2) \setminus p \subseteq B_1 </tex> {{---}} противоречие.  
 
#: Поскольку цикл <tex>C</tex> не лежит в <tex>B_2</tex>, существует <tex>q \in C \cap \overline {B_2}.</tex> Множество <tex>(B_1 \cup p) \setminus q</tex> не содержит циклов, так как разрушен единственный цикл. Поэтому оно независимо и <tex>|(B_1 \cup p) \setminus q| = |B_1|.</tex> Следовательно, <tex> (B_1 \cup p) \setminus q</tex> {{---}} база. Тогда <tex>\overline {(B_1 \cup p \setminus q)} = \overline {(B_1 \cup p)} \cup q = (\overline {B_1} \setminus p) \cup q,</tex> где <tex>q \in \overline {B_2}.</tex> То есть выполняется третья аксиома баз.
 
#: Поскольку цикл <tex>C</tex> не лежит в <tex>B_2</tex>, существует <tex>q \in C \cap \overline {B_2}.</tex> Множество <tex>(B_1 \cup p) \setminus q</tex> не содержит циклов, так как разрушен единственный цикл. Поэтому оно независимо и <tex>|(B_1 \cup p) \setminus q| = |B_1|.</tex> Следовательно, <tex> (B_1 \cup p) \setminus q</tex> {{---}} база. Тогда <tex>\overline {(B_1 \cup p \setminus q)} = \overline {(B_1 \cup p)} \cup q = (\overline {B_1} \setminus p) \cup q,</tex> где <tex>q \in \overline {B_2}.</tex> То есть выполняется третья аксиома баз.
 
}}
 
}}
Строка 21: Строка 21:
 
|about=2
 
|about=2
 
|definition=
 
|definition=
'''Двойственный матроид''' к <tex> M = \; \langle X, I \rangle</tex> {{---}} это матроид <tex>M^* = \langle X, I^* \rangle</tex>, где <tex>I^* = \{A\ |\ \exists B \in \mathcal B: \  A \cap B = \varnothing\}</tex>
+
'''Двойственный матроид''' к <tex> M = \; \langle X, I \rangle</tex> {{---}} это матроид <tex>M^{\circ} = \langle X, I^{\circ} \rangle</tex>, где <tex>I^{\circ} = \{A\ |\ \exists B \in \mathcal B: \  A \cap B = \varnothing\}</tex>
 
}}
 
}}
  
  
 
{{Теорема
 
{{Теорема
|statement=Определения 1 и 2 эквивалентны.
+
|statement=Матроиды <tex> M^* </tex> и <tex> M^{\circ} </tex> совпадают.
 
|proof=
 
|proof=
Введём следующие обозначения:
 
: <tex> M_1^* = \; \langle X, I_1 \rangle </tex> {{---}} двойственный к <tex> M </tex> матроид по первому определению
 
: <tex> M_2^* = \; \langle X, I_2 \rangle </tex> {{---}} по второму.
 
  
Необходимо показать: <tex> I_1 = I_2 </tex>
+
Требуется доказать: <tex> I^* = I^{\circ}. </tex>
* <tex> A \in I_1 \Rightarrow A \in I_2 </tex>
+
* <tex> A \in I^* \Rightarrow A \in I^{\circ} </tex>
 
*: Для начала покажем от противного, что <tex> \exists B \in \mathcal B: \ A \subseteq B </tex>.
 
*: Для начала покажем от противного, что <tex> \exists B \in \mathcal B: \ A \subseteq B </tex>.
 
*:: Предположим <tex> S \in I </tex> {{---}} множество максимального размера среди таких, что <tex> A \subseteq S </tex>, причём <tex> S </tex> {{---}} не база. Возмём также какое-нибудь  <tex> B \in \mathcal B</tex>.  
 
*:: Предположим <tex> S \in I </tex> {{---}} множество максимального размера среди таких, что <tex> A \subseteq S </tex>, причём <tex> S </tex> {{---}} не база. Возмём также какое-нибудь  <tex> B \in \mathcal B</tex>.  
 
*:: Раз <tex> S </tex> не база, то <tex> |S| < |B| </tex>. В таком случае по [[Определение_матроида | 3-ей аксиоме матроидов]] <tex> \exists b \in B: \ S \cup b \in I </tex>. Получили противоречие, поскольку <tex> S \cup b </tex> имеет большую мощность чем <tex> S </tex>.
 
*:: Раз <tex> S </tex> не база, то <tex> |S| < |B| </tex>. В таком случае по [[Определение_матроида | 3-ей аксиоме матроидов]] <tex> \exists b \in B: \ S \cup b \in I </tex>. Получили противоречие, поскольку <tex> S \cup b </tex> имеет большую мощность чем <tex> S </tex>.
*: Итак, возьмём <tex> B </tex> {{---}} базу <tex> M_1^* </tex>,  включающую в себя <tex> A </tex>. По '''определению 1''' <tex>B \in \mathcal B_1 \Rightarrow \overline B \in \mathcal B </tex>. Поскольку <tex> B \cap \overline B = \varnothing, A \subseteq B </tex>, то <tex> A \cap \overline B = \varnothing </tex>. В таком случае по '''определению 2''' <tex> A \in I_2 </tex>.
+
*: Итак, возьмём <tex> B </tex> {{---}} базу <tex> M^* </tex>,  включающую в себя <tex> A </tex>. По '''определению 1''' <tex>B \in \mathcal B_1 \Rightarrow \overline B \in \mathcal B </tex>. Поскольку <tex> B \cap \overline B = \varnothing, A \subseteq B </tex>, то <tex> A \cap \overline B = \varnothing </tex>. В таком случае по '''определению 2''' <tex> A \in I^{\circ} </tex>.
 
   
 
   
* <tex> A \in I_2 \Rightarrow A \in I_1 </tex>
+
* <tex> A \in I^{\circ} \Rightarrow A \in I^* </tex>
*: <tex> A \in I_2 </tex> означает что <tex> \exists B \in \mathcal B: \ A \cap B = \varnothing </tex>. Последнее можно записать иначе: <tex> A \subseteq \overline B </tex>.  
+
*: <tex> A \in I^{\circ} </tex> означает что <tex> \exists B \in \mathcal B: \ A \cap B = \varnothing </tex>. Последнее можно записать иначе: <tex> A \subseteq \overline B </tex>.  
*: Кроме того <tex> B \in \mathcal B \Rightarrow \overline B \in \mathcal B_1 </tex> по определению <tex> M_1^* </tex>. Получили <tex> A \subseteq \overline B \in \mathcal B_1 </tex>, откуда следует <tex> A \in I_1 </tex>.
+
*: Кроме того <tex> B \in \mathcal B \Rightarrow \overline B \in \mathcal B_1 </tex> по определению <tex> M^* </tex>. Получили <tex> A \subseteq \overline B \in \mathcal B_1 </tex>, откуда следует <tex> A \in I^* </tex>.
 
}}
 
}}
  

Версия 12:07, 6 июня 2014

Определение:
Двойственный матроид (англ. dual matroid) к [math] M = \; \langle X, B \rangle[/math] — это матроид [math]M^* = \; \langle X, \mathcal B^* \rangle[/math], где [math] \mathcal B^* = \; \{ \overline B |\; B \in \mathcal B \} [/math] — множество всех кобаз матроида [math]M.[/math]


Теорема:
Множество [math]\mathcal B^*[/math] удовлетворяет аксиомам баз.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
  1. Следует из [math] | \mathcal B | = | \mathcal B^* | [/math].
  2. Предположим [math]\overline B_1, \overline B_2 \in \mathcal B^*, \ \overline B_1 \ne \overline B_2, \ \overline {B_1} \subseteq \overline {B_2} [/math]. Тогда по второй аксиоме баз для [math] B_{1,2} \ (B_1, B_2 \in \mathcal B):\ \overline {B_1} \subseteq \overline {B_2} \Rightarrow B_2 \subseteq B_1 [/math], а определение базы гласит, что в таком случае [math] B_1 = B_2, [/math] пришли к противоречию.
  3. Пусть [math] \overline{B_1}, \overline {B_2} \in \mathcal B^*[/math] и [math] p\in \overline{B_1}.[/math].
    Покажем, что в [math] B_1 \cup p [/math] содержится ровно один цикл.
    Так как [math] p\notin {B_1}, [/math] то по определению базы [math] B_1 \cup p \notin I [/math], а значит существует цикл [math]C \subseteq B_1 \cup p [/math].
    Убедимся также, что он единственный. Положим [math] \exists C_1, C_2 \in \mathfrak{C}: \ C_1, C_2 \subseteq B_1 \cup p,\ C_1 \ne C_2 [/math]. Заметим, что [math] p \in C_1, C_2 [/math], в противном случае цикл не содержащий [math] p [/math] был бы подмножеством [math] B_1 [/math], что невозможно. Следовательно по 3-му свойству циклов [math] \exists C_3 \in \mathfrak{C}: \ C_3 \subseteq (C_1 \cup C_2) \setminus p [/math]. Но помимо этого выполнено [math] (C_1 \cup C_2) \setminus p \subseteq B_1 [/math] — противоречие.
    Поскольку цикл [math]C[/math] не лежит в [math]B_2[/math], существует [math]q \in C \cap \overline {B_2}.[/math] Множество [math](B_1 \cup p) \setminus q[/math] не содержит циклов, так как разрушен единственный цикл. Поэтому оно независимо и [math]|(B_1 \cup p) \setminus q| = |B_1|.[/math] Следовательно, [math] (B_1 \cup p) \setminus q[/math] — база. Тогда [math]\overline {(B_1 \cup p \setminus q)} = \overline {(B_1 \cup p)} \cup q = (\overline {B_1} \setminus p) \cup q,[/math] где [math]q \in \overline {B_2}.[/math] То есть выполняется третья аксиома баз.
[math]\triangleleft[/math]


Определение:
Двойственный матроид к [math] M = \; \langle X, I \rangle[/math] — это матроид [math]M^{\circ} = \langle X, I^{\circ} \rangle[/math], где [math]I^{\circ} = \{A\ |\ \exists B \in \mathcal B: \ A \cap B = \varnothing\}[/math]


Теорема:
Матроиды [math] M^* [/math] и [math] M^{\circ} [/math] совпадают.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Требуется доказать: [math] I^* = I^{\circ}. [/math]

  • [math] A \in I^* \Rightarrow A \in I^{\circ} [/math]
    Для начала покажем от противного, что [math] \exists B \in \mathcal B: \ A \subseteq B [/math].
    Предположим [math] S \in I [/math] — множество максимального размера среди таких, что [math] A \subseteq S [/math], причём [math] S [/math] — не база. Возмём также какое-нибудь [math] B \in \mathcal B[/math].
    Раз [math] S [/math] не база, то [math] |S| \lt |B| [/math]. В таком случае по 3-ей аксиоме матроидов [math] \exists b \in B: \ S \cup b \in I [/math]. Получили противоречие, поскольку [math] S \cup b [/math] имеет большую мощность чем [math] S [/math].
    Итак, возьмём [math] B [/math] — базу [math] M^* [/math], включающую в себя [math] A [/math]. По определению 1 [math]B \in \mathcal B_1 \Rightarrow \overline B \in \mathcal B [/math]. Поскольку [math] B \cap \overline B = \varnothing, A \subseteq B [/math], то [math] A \cap \overline B = \varnothing [/math]. В таком случае по определению 2 [math] A \in I^{\circ} [/math].
  • [math] A \in I^{\circ} \Rightarrow A \in I^* [/math]
    [math] A \in I^{\circ} [/math] означает что [math] \exists B \in \mathcal B: \ A \cap B = \varnothing [/math]. Последнее можно записать иначе: [math] A \subseteq \overline B [/math].
    Кроме того [math] B \in \mathcal B \Rightarrow \overline B \in \mathcal B_1 [/math] по определению [math] M^* [/math]. Получили [math] A \subseteq \overline B \in \mathcal B_1 [/math], откуда следует [math] A \in I^* [/math].
[math]\triangleleft[/math]

См.также

Источники информации