Изменения
Перенаправление на Раскраска двудольного графа в два цвета
#перенаправление [[Файл:Двудольный граф.jpg|thumb|upright|Пример Раскраска двудольного графа]] Неориентированный граф <tex>G = (W,E)</tex> называется '''двудольным''', если множество его вершин можно разбить на две части <tex> U \cup V = W , \mid U\mid > 0, \mid V\mid > 0</tex>, так, что ни одна вершина в <tex>U</tex> не соединена с вершинами в <tex>U</tex> и ни одна вершина в <tex>V</tex> не соединена с вершинами в <tex>V</tex>. {{Теорема |about=Кёниг|statement=Граф является двудольным <tex> \iff </tex> когда все циклы четные.|proof= ''Достаточность.'' Рассмотрим двудольный граф. Начнем цикл в доли <tex> U </tex>. Нужно пройти по четному числу ребер, чтобы подняться в <tex> U </tex> снова. Следовательно, при замыкании цикла число ребер будет четным. ''Необходимость.'' Если граф несвязный, то проведем доказательство отдельно для каждой компоненты. Пусть граф связный и все циклы в нем четные. Выделим произвольную вершину <tex> v_0 </tex> и найдем произвольные цепи между <tex> v_0 </tex> и всеми остальными вершинами (например, самые короткие алгоритмом Дейкстры). Если одна цепь <tex>(v_0, v_i)</tex> нечетной длины, то и любая цепь <tex>(v_0, v_i)</tex> нечетная, иначе бы эти цепи образовали нечетный цикл. Аналогично, если <tex>(v_0, v_i)</tex> — четная, то и любая <tex>(v_0, v_i)</tex> — четная. Разобьем вершины на две доли: в одну войдет вершина <tex> v_0 </tex> и все, находящиеся от <tex> v_0 </tex> на четном расстоянии; в другую долю поместим все вершины, находящиеся от <tex> v_0 </tex> на нечетном расстоянии. Если вершины <tex> u_1 </tex> и <tex> u_2 </tex> принадлежат одной доле, то между ними не может быть ребра, иначе это ребро вместе с цепями <tex>(v_0, u_1)</tex> и <tex>(v_0, u_2)</tex> образовали бы нечетный цикл.}} === Раскраска в 2 два цвета === Так как множество вершин двудольного графа можно разделить на 2 независимых подмножества так, что ни одна из вершин ни в одном из этих подмножеств не является смежной к вершине из этого же подмножества <tex>\Rightarrow</tex> граф <tex>G = (W,E)</tex> - 2-раскрашиваем. <tex>\chi(G) = 2</tex>. Так как граф является двудольным тогда и только тогда, когда все циклы четны, определить двудольность можно за один проход в глубину.На каждом шаге обхода в глубину метим вершину. Допустим мы пошли в первую вершину - добавляем ее в множество <tex> U </tex>. То есть ставим метку <tex> 1 </tex>. Затем просматриваем все смежные вершины и если не помечена вершина, то метим ее как <tex> 2 </tex> (то есть добавляем во множество <tex> V </tex> ) и рекурсивно переходим в нее. Если же она мечена и у нее такая же метка как у нашей - то все граф не двудольный. ===См. также ===* [http://rain.ifmo.ru/cat/view.php/theory/graph-coloring-layout| Графы. Раскраски и укладки.]]
