Двумерная разреженная таблица — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
м (2 правки орфографии)
(На картинках отсчет матриц идет с нуля, а не с единицы. Можно также добавить, что нужно не выйти за верхние границы...)
 
Строка 40: Строка 40:
  
 
Далее мы считаем [[Решение_RMQ_с_помощью_разреженной_таблицы|одномерную разреженную таблицу]] для каждого столбца:
 
Далее мы считаем [[Решение_RMQ_с_помощью_разреженной_таблицы|одномерную разреженную таблицу]] для каждого столбца:
  '''for''' <tex> i = 1 </tex> '''to''' <tex> N </tex>
+
  '''for''' <tex> i = 0 </tex> '''to''' <tex> N </tex>
     '''for''' <tex> j = 1 </tex> '''to''' <tex> M </tex>
+
     '''for''' <tex> j = 0 </tex> '''to''' <tex> M </tex>
 
         '''for''' <tex> lg = 1 </tex> '''to''' <tex> \log(M) </tex>         
 
         '''for''' <tex> lg = 1 </tex> '''to''' <tex> \log(M) </tex>         
 
             <tex>ST[i][j][0][lg] = \min(ST[i][j][0][lg - 1], ST[i][j+ 2^{lg-1}][0][lg - 1])</tex>
 
             <tex>ST[i][j][0][lg] = \min(ST[i][j][0][lg - 1], ST[i][j+ 2^{lg-1}][0][lg - 1])</tex>
Строка 47: Строка 47:
 
Следующим шагом мы можем обновить значения для подматриц, так как для всех столбцов ответы уже известны. Будем это делать по аналогичному алгоритму для 1D Sparse Table.
 
Следующим шагом мы можем обновить значения для подматриц, так как для всех столбцов ответы уже известны. Будем это делать по аналогичному алгоритму для 1D Sparse Table.
 
  '''for''' <tex> k_1 = 1 </tex> '''to''' <tex> \log(N) </tex>
 
  '''for''' <tex> k_1 = 1 </tex> '''to''' <tex> \log(N) </tex>
     '''for''' <tex> i = 1 </tex> '''to''' <tex> N </tex>
+
     '''for''' <tex> i = 0 </tex> '''to''' <tex> N </tex>
 
         '''for''' <tex> k_2 = 0 </tex> '''to''' <tex> \log(M) </tex>
 
         '''for''' <tex> k_2 = 0 </tex> '''to''' <tex> \log(M) </tex>
             '''for''' <tex> j = 1 </tex> '''to''' <tex> M </tex>         
+
             '''for''' <tex> j = 0 </tex> '''to''' <tex> M </tex>         
 
                 <tex>ST[i][j][k_1][k_2]=\min\left(ST[i][j][k_1 - 1][k_2],ST[i+2^{k_1-1}][j][k_1 - 1][k_2]\right)</tex>
 
                 <tex>ST[i][j][k_1][k_2]=\min\left(ST[i][j][k_1 - 1][k_2],ST[i+2^{k_1-1}][j][k_1 - 1][k_2]\right)</tex>
  

Текущая версия на 21:49, 19 октября 2020

Двумерная разреженная таблица (англ. 2D Sparse Table) — структура данных, которая позволяет решать задачу online static RMQ.


Задача:
Дан двумерный массив [math]A[1 \ldots N][1 \ldots M][/math] целых чисел. Поступают запросы вида [math](x_1, y_1, x_2, y_2)[/math] такие, что [math] x_1 \leqslant x_2 [/math] и [math] y_1 \leqslant y_2 [/math] , для каждого из которых требуется найти минимум среди [math]A[i][j], x_1 \leqslant i \leqslant x_2 [/math] и [math] y_1 \leqslant j \leqslant y_2 [/math].


Структура 2D Sparse Table[править]

В целом структура 2D Sparse Table схожа со структурой обычной разреженной таблицы.

Разреженная таблица представляет собой четырехмерный массив: [math]ST[N][M][LOGN][LOGM][/math], где [math]LOGN = \log(N), LOGM = \log(M)[/math].

[math] ST[i][j][k_1][k_2] = \min\limits_{r = i,\dots,i+2^{k_1}-1, c = j,\ldots,j + 2^{k_2}-1} A[r][c], r \lt N, c \lt M [/math]

То есть в ячейке структуры мы храним минимум для подматрицы, длины сторон которого являются некоторыми степенями двойки.

STP1.png
SparseTableExample1Picture.png

Рассмотрим иллюстрации.

Слева изображен общий случай. Пусть [math]n + 1[/math] — количество строк, [math]m + 1[/math] — количество столбцов массива A. Рассмотрим элемент на позиции [math](i, j)[/math], который выделен желтым цветом. Данный элемент является левым верхним углом прямоугольника, стороны которого равны [math]2^{k_1}[/math] и [math]2^{k_2}[/math]. Прямоугольна выделен красным, а проекции его сторон - зеленым. Тогда в [math]ST[i][j][k_1][k_2][/math] будет храниться минимум из всех элементов, которые входят в красную и желтую область.

Справа изображен частный случай, когда N = 11, M = 11. Посмотрим, что будет храниться в [math]ST[2][1][2][3][/math]: Клетка (2, 1), которая выделена желтым цветом, является левым верхним углом красного прямоугольника, длины сторон которого [math]2^{2}[/math] и [math]2^{3}[/math] (проекции этих сторон выделены зеленым цветом). И по определению выше, [math]ST[2][1][3][2][/math] хранит минимум из элементов красной области.

Реализация 2D Sparse Table[править]

Построение[править]

Изначально заполним таблицу следующим образом:

$$ST[i][j][k_1][k_2]= \begin{cases} \infty ,&\text{если $k_1\neq0 \lor k_2\neq0$ ;}\\ A[i][j], &\text {если $k_1=0 \wedge k_2=0$ ;} \end{cases} $$

Далее мы считаем одномерную разреженную таблицу для каждого столбца:

for [math] i = 0 [/math] to [math] N [/math]
    for [math] j = 0 [/math] to [math] M [/math]
        for [math] lg = 1 [/math] to [math] \log(M) [/math]         
            [math]ST[i][j][0][lg] = \min(ST[i][j][0][lg - 1], ST[i][j+ 2^{lg-1}][0][lg - 1])[/math]

Следующим шагом мы можем обновить значения для подматриц, так как для всех столбцов ответы уже известны. Будем это делать по аналогичному алгоритму для 1D Sparse Table.

for [math] k_1 = 1 [/math] to [math] \log(N) [/math]
    for [math] i = 0 [/math] to [math] N [/math]
        for [math] k_2 = 0 [/math] to [math] \log(M) [/math]
            for [math] j = 0 [/math] to [math] M [/math]         
                [math]ST[i][j][k_1][k_2]=\min\left(ST[i][j][k_1 - 1][k_2],ST[i+2^{k_1-1}][j][k_1 - 1][k_2]\right)[/math]

Таким образом мы получили двумерную разреженную таблицу за [math]O(NM\log(N)\log(M))[/math]

Ответы на запросы[править]

Для ответа на запрос [math] \mathrm {RMQ(l, r)} [/math] в 1D Sparse Table использовалось пересечение отрезков [math] [l, l + 2^{k}] [/math] и [math] [r - 2^{k} + 1, r] [/math], где [math] k = \lfloor \log(SZ) \rfloor , SZ [/math] — размера массива для одномерной задачи.

Тут мы будем пользоваться аналогичным утверждением для матриц. Таким образов минимум на подматрице [math](x_1, y_1, x_2, y_2)[/math] будет высчитываться следующим образом:

[math] k_1 = \lfloor  \log(x_2 - x_1 + 1) \rfloor [/math]
[math] k_2 = \lfloor  \log(y_2 - y_1 + 1) \rfloor [/math]
[math] ans_1 = ST[x_1][y_1][k_1][k_2] [/math]      // красный прямоугольник
[math] ans_2 = ST[x_2 - 2^{k_1} + 1][y_1][k_1][k_2] [/math]      // Y-прямоугольник
[math] ans_3 = ST[x_1][y_2 - 2^{k_2} + 1][k_1][k_2] [/math]      // AA-прямоугольник
[math] ans_4 = ST[x_2 - 2^{k_1} + 1][y_2 - 2^{k_2} + 1][k_1][k_2] [/math]      // белый прямоугольник
[math] ans = \min\left(ans_1, ans_2, ans_3, ans_4\right) [/math] 
ST3.png

Таким образом мы получаем ответ на запрос [math] \mathrm {RMQ(x_1, y_1, x_2, y_2)} [/math] за [math] O(1) [/math], если предпосчитать логарифмы двоек, например так:

[math] lg[1] = 0 [/math]
for [math] i = 2 [/math] to [math]\max\left(N, M\right)[/math]
    [math] lg[i] = lg[i / 2] + 1 [/math]

Обобщение на большие размерности[править]

Можно заметить, что возможно реализовать и D-мерную разреженную таблицу за [math]O((N\log(n))^{D})[/math] памяти и [math]O((N\log(n))^{D})[/math] времени на построение, где ответ на запрос, например, [math] \mathrm {RMQ(l, r)} [/math] будет выполняться за [math] O(2^{D}) [/math].

Способ построения: Если в данном случае, для того, чтобы построить двумерную структуру мы сначала должны были построить одномерную, то также и в случае с D-мерной структуре - сначала нужно построить (D-1)-мерную, а из нее получить D-мерную.

Ответ на запрос: Абсолютно аналогичен рассмотренному здесь, только обобщается до размерности D.

См. также[править]