Изменения

'''Двусторонний детерминированный конечный автомат (2ДКА)''' (англ. ''Two-way deterministic finite automaton (2DFA)'') {{---}} набор из восьми элементов <tex>M = \langle \Sigma , Q, L, R, s, t, r, \delta \rangle</tex>, где * <tex>\Sigma</tex> {{---}} алфавит (англ. ''alphabet''), * <tex>Q</tex> {{---}} множество состояний (англ. ''finite set of states''), * <tex>L \notin \Sigma</tex> {{---}} левый маркер конца строки(англ. ''left endmarker''), * <tex>R \notin \Sigma</tex> {{---}} правый маркер конца строки(англ. ''right endmarker''), * <tex>s \in Q</tex> — начальное (стартовое) состояние (англ. ''start state''), * <tex>t \in Q</tex> {{---}} допускающее состояние (англ. ''accept state''), * <tex>r \in Q</tex> — отвергающее состояние (англ. ''reject state''), * <tex>\delta : Q \times \{\Sigma \cup \{L, R\}\} \to Q \times \{left, right\}</tex> {{---}} функция переходов (англ. ''transition function'').

 ==Регулярность языка = Описание ={{Теорема|statement=Классы языков ДКА и 2ДКА совпадают.Зафиксируем |proof=Рассмотрим длинную входную строку <tex>w_1</tex> и разобьем на две подстроки <tex>x \in \Sigma^*w_1=xz</tex>. Будем считать, где что <tex>x w_1 = a_1 a_2 a_3 \dots a_n</tex>. Пусть <tex>a_0 = L</tex> и <tex>a_{n+1}=R</tex>. Тогда Так как у нас наш автомат может производить чтение в любом направлении, то граница <tex>x</tex> и <tex>z</tex> может быть пересечена несколько раз. Каждый раз, когда автомат пересекает границу справа налево (то есть из <tex>z</tex> в <tex>x</tex>), он выходит из <tex>z</tex> в состояние <tex>q</tex>. Когда пересечение происходит снова слева направо (если оно вообще происходит), то автомат выходит из <tex>x</tex> в состояние <tex>p</tex>. Теперь, если 2ДКА перейдет в <tex>x</tex> в состояние <tex>q</tex> заново, то он снова может появиться в состоянии <tex>p</tex>. Более того, состояние <tex>p</tex> зависит исключительно от <tex>q</tex> и <tex>x</tex>. Обозначим такое отношение через <tex>T_x(q) = p</tex>. Мы может записать все такие отношения в виде конечной таблицы <tex>T_x : Q \cup \{d\} \to Q \cup \{h\}</tex>, где <tex>Q</tex> {{---}} множество состояний 2ДКА, а <tex>d</tex> и <tex>h</tex> будут описаны ниже. На входной строке <tex>xz</tex> 2ДКА начнет чтение с левого маркера конца строки. В процессе работы автомата позиция чтения будет меняться. В конце концов это позиция пересечет слева направо границу между <tex>x</tex> и <tex>z</tex>. В первый раз это произойдет в каком-нибудь состоянии, которое будем называть <tex>T_x(d)</tex> (для этого мы и выделили <tex>d</tex>). Так же автомат может никогда не выйти из <tex>x</tex>. В таком случае мы запишем <tex>T_x(d) = h</tex>. Состояние <tex>T_x(d)</tex> дает немного информации о <tex>x</tex>, но только конечное количество, поскольку существует только конечное количество вариантов для <tex>T_x(d)</tex>. Отметим, что <tex>T_x(d)</tex> зависит только от <tex>x</tex> и не зависит от <tex>z</tex>. Если на вход подавалась бы строка <tex>xw</tex> вместо <tex>xz</tex>, то в таком случае при пересечении границы из <tex>x</tex> в <tex>w</tex> автомат также был бы в состоянии <tex>T_x(d)</tex>, потому что его значение до того момента определялось только <tex>x</tex> и до тех пор все, что находится справа от границы никак не влияет. Если <tex>T_x(d) = h</tex>, то 2ДКА в бесконечном цикле внутри <tex>x</tex>, и он никогда не допустит и не отвергнет входную строку. Предположим, что 2ДКА переходит из <tex>x</tex> в <tex>z</tex> и спустя время переходит обратно в состояние <tex>q</tex>. Если это происходит, то потом:* либо снова произойдет переход из <tex>x</tex> в некоторое состояние <tex>p</tex>. В таком случае мы определим <tex>T_x(q)=p</tex>.* либо никогда не перейдет. В таком случае <tex>T_x(q) = h</tex>. Ещё раз отметим, что <tex>T_x(q)</tex> зависит только от <tex>x</tex> и <tex>q</tex> и не зависит от <tex>z</tex>. Если автомат переходит в <tex>x</tex> справа в состояние <tex>q</tex>, то тогда он появится заново в состоянии <tex>T_x(q)</tex> (или никогда не перейдет, если <tex>T_x(q) = h</tex>), потому что автомат детерминированный, и его поведение полностью определяется <tex>x</tex> и состоянием, в которое он вошел. Если мы запишем <tex>T_x(q)</tex> для каждого состояния <tex>q</tex> вместе с <tex>T_x(d)</tex>, это даст нам всю информацию о <tex>x</tex>, которую можно перенести через границу между <tex>x</tex> и <tex>z</tex>. Все это позволит узнать <tex>T_x(d)</tex>a_0 a_1 a_2 сразу после пересечения границы, а также посмотреть значения <tex>T_x(q)</tex>. Если <tex>y</tex> {{---}} другая строка, такая что <tex>T_y=T_x</tex>, то тогда <tex>x</tex> и <tex>y</tex> будут неразличимы. Заметим, что у нас конечное число возможных таблиц<tex>T_x : Q \cup \{d\} \to Q \cup \{h\dots a_n a_}</tex>,а именно <tex>(k+1)^{nk+1} </tex>, где <tex>k</tex> {{---}} размер множества <tex>Q</tex>. Таким образом, у нас конечное количество информации о <tex>x</tex>, которое мы может перенести через границу справа от <tex>x</tex>, и которое закодировано у нас в таблицe <tex>T_x</tex>. Отметим также, что если <tex>T_x=T_y</tex> и автомат допускает строку <tex>xz</tex>, то тогда он допускает и строку <tex>yz</tex>, потому что последовательность состояний, перенесенных через границу <tex>x</tex> и <tex>z</tex> (либо <tex>y</tex> и <tex>z</tex>) в любом направлении, полностью определяется таблицами <tex>T_x= T_y</tex> и строкой <tex>z</tex>. Чтобы допустить строку <tex>xz</tex>, автомат должен в какой-то момент прочитать правый маркер конца строки, находясь в допускающем состоянии <tex>t</tex>. Теперь мы может использовать теорему Майхилла-Нероуда, чтобы показать, что язык <tex>L (M)</tex> нашего автомата <tex>M</tex> [[Регулярные_языки:_два_определения_и_их_эквивалентность|регулярный]]. <tex>T_x = T_y \Rightarrow \forall z (M\ \text{accepts}\ xz \Leftrightarrow M\ \text{accepts}\ yz)</tex> <tex> \Leftrightarrow \forall z (xz \in L(M)</tex> <tex> \Leftrightarrow yz \in L(M)) \Leftrightarrow x R\equiv_{L(M)} y</tex>, где <tex>\equiv_{L(M)}</tex> {{---}} [[Отношение_эквивалентности|отношение эквивалентности]] на множестве слов в алфавите. Таким образом, если 2 строки имеют одинаковые таблицы, то тогда они эквивалентны отношением <tex>\equiv_{L(M)}</tex>. Поскольку у нас только конечное число таблиц, отношение <tex>\equiv_{L(M)}</tex> имеет только конечное количество [[Отношение_эквивалентности|классов эквивалентности]], самое большее один для каждой таблицы. Следовательно, по теореме Майхилла-Нероуда, <tex>L(M)</tex>{{---}} регулярный язык, что согласно теореме Клини, совпадает с классом и автоматных языков, ч.т.д.}}

Он может быть легко распознан с помощью следующего недетерменированного [[Недетерминированные_конечные_автоматы|недетерминированного конечного автомата]].

[[Файл:2dfa_example_1.png|600px]] Теперь построим на его основе [[Детерминированные_конечные_автоматы|ДКА]]. Мы можем построить автомат <tex>A_n</tex>, который запоминает последние <tex>n</tex> входных символов. Следовательно, когда мы находимся с в состоянии, соответствующему подстроке <tex>\sigma_1 \sigma_2 \dots \sigma_n</tex>, и читаем очередной символ <tex>\gamma</tex>, то мы переходим в состояние, которому уже будет соответствовать подстрока <tex>\sigma_2 \sigma_3 \dots \sigma_n \gamma</tex>. Однако, в случае <tex>\sigma_1 = \gamma = a</tex> автомат переходит в допускающее состояние, где в цикле может переходить на любому символу. Следует отметить, что такая стратегия строит ДКА c <tex>2^n + 1</tex> состояниями. Ниже представлен автомат <tex>A_3</tex>, который распознает язык <tex>L_3</tex>. [[Файл:2dfa_example_2.png|500px]]

* Каждая строка длины <tex>n</tex> не принадлежит <tex>L_n</tex> и, следовательно, различима от строки со строкой <tex>a^{n+1}</tex>, которая принадлежит <tex>L_n</tex>.

* [[Детерминированные конечные Локальные автоматы]]* [[Теорема Клини (совпадение классов автоматных и регулярных языков)]]