Двусторонний детерминированный конечный автомат — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
Строка 1: Строка 1:
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition=
 
|definition=
'''Двусторонний детерминированный конечный автомат (2ДКА)''' (англ. ''Two-way deterministic finite automaton (2DFA)'') {{---}} набор из восьми элементов <tex>M = \langle \Sigma , Q, L, R, s, t, r, \delta \rangle</tex>, где <tex>\Sigma</tex> {{---}} алфавит (англ. ''alphabet''), <tex>Q</tex> {{---}} множество состояний (англ. ''finite set of states''), <tex>L \notin \Sigma</tex> {{---}} левый маркер конца строки (англ. ''left endmarker''), <tex>R \notin \Sigma</tex> {{---}} правый маркер конца строки (англ. ''right endmarker''), <tex>s \in Q</tex> — начальное (стартовое) состояние (англ. ''start state''), <tex>t \in Q</tex> {{---}} допускающее состояние (англ. ''accept state''), <tex>r \in Q</tex> — отвергающее состояние (англ. ''reject state''), <tex>\delta : Q \times \{\Sigma \cup \{L, R\}\} \to Q \times \{left, right\}</tex> {{---}} функция переходов (англ. ''transition function'').
+
'''Двусторонний детерминированный конечный автомат (2ДКА)''' (англ. ''Two-way deterministic finite automaton (2DFA)'') {{---}} набор из восьми элементов <tex>M = \langle \Sigma , Q, L, R, s, t, r, \delta \rangle</tex>, где
 +
* <tex>\Sigma</tex> {{---}} алфавит,
 +
* <tex>Q</tex> {{---}} множество состояний,
 +
* <tex>L \notin \Sigma</tex> {{---}} левый маркер конца строки (англ. ''left endmarker''),
 +
* <tex>R \notin \Sigma</tex> {{---}} правый маркер конца строки (англ. ''right endmarker''),
 +
* <tex>s \in Q</tex> — начальное (стартовое) состояние,
 +
* <tex>t \in Q</tex> {{---}} допускающее состояние,
 +
* <tex>r \in Q</tex> — отвергающее состояние,
 +
* <tex>\delta : Q \times \{\Sigma \cup \{L, R\}\} \to Q \times \{left, right\}</tex> {{---}} функция переходов.
 
}}
 
}}
 
Также должны быть удовлетворены следующие условия:
 
Также должны быть удовлетворены следующие условия:
Строка 15: Строка 23:
  
 
== Регулярность языка ==
 
== Регулярность языка ==
 +
{{Теорема
 +
|statement=Классы языков ДКА и 2ДКА совпадают.
 +
|proof=
 
Рассмотрим длинную входную строку <tex>w_1</tex> и разобьем на две подстроки <tex>w_1=xz</tex>. Будем считать, что <tex>w_1 = a_1 a_2 a_3 \dots a_n</tex>. Пусть <tex>a_0 = L</tex> и <tex>a_{n+1}=R</tex>. Так как у нас наш автомат может производить чтение в любом направлении, то граница <tex>x</tex> и <tex>z</tex> может быть пересечена несколько раз. Каждый раз, когда автомат пересекает границу справа налево (то есть из <tex>z</tex> в <tex>x</tex>), он выходит из <tex>z</tex> в состояние <tex>q</tex>. Когда пересечение происходит снова слева направо (если оно вообще происходит), то автомат выходит из <tex>x</tex> в состояние <tex>p</tex>. Теперь, если 2ДКА перейдет в <tex>x</tex> в состояние <tex>q</tex> заново, то он снова может появиться в состоянии <tex>p</tex>. Более того, состояние <tex>p</tex> зависит исключительно от <tex>q</tex> и <tex>x</tex>. Обозначим такое отношение через <tex>T_x(q) = p</tex>. Мы может записать все такие отношения в виде конечной таблицы <tex>T_x : Q \cup \{d\} \to Q \cup \{h\}</tex>, где <tex>Q</tex> {{---}} множество состояний 2ДКА, а <tex>d</tex> и <tex>h</tex> будут описаны ниже.
 
Рассмотрим длинную входную строку <tex>w_1</tex> и разобьем на две подстроки <tex>w_1=xz</tex>. Будем считать, что <tex>w_1 = a_1 a_2 a_3 \dots a_n</tex>. Пусть <tex>a_0 = L</tex> и <tex>a_{n+1}=R</tex>. Так как у нас наш автомат может производить чтение в любом направлении, то граница <tex>x</tex> и <tex>z</tex> может быть пересечена несколько раз. Каждый раз, когда автомат пересекает границу справа налево (то есть из <tex>z</tex> в <tex>x</tex>), он выходит из <tex>z</tex> в состояние <tex>q</tex>. Когда пересечение происходит снова слева направо (если оно вообще происходит), то автомат выходит из <tex>x</tex> в состояние <tex>p</tex>. Теперь, если 2ДКА перейдет в <tex>x</tex> в состояние <tex>q</tex> заново, то он снова может появиться в состоянии <tex>p</tex>. Более того, состояние <tex>p</tex> зависит исключительно от <tex>q</tex> и <tex>x</tex>. Обозначим такое отношение через <tex>T_x(q) = p</tex>. Мы может записать все такие отношения в виде конечной таблицы <tex>T_x : Q \cup \{d\} \to Q \cup \{h\}</tex>, где <tex>Q</tex> {{---}} множество состояний 2ДКА, а <tex>d</tex> и <tex>h</tex> будут описаны ниже.
  
Строка 37: Строка 48:
 
Теперь мы может использовать теорему Майхилла-Нероуда, чтобы показать, что язык <tex>L(M)</tex> нашего автомата <tex>M</tex> [[Регулярные_языки:_два_определения_и_их_эквивалентность|регулярный]].
 
Теперь мы может использовать теорему Майхилла-Нероуда, чтобы показать, что язык <tex>L(M)</tex> нашего автомата <tex>M</tex> [[Регулярные_языки:_два_определения_и_их_эквивалентность|регулярный]].
  
<tex>T_x = T_y \Rightarrow \forall z (M\ \text{accepts}\ xz \Leftrightarrow M\ \text{accepts}\ yz)</tex> <tex> \Leftrightarrow \forall z (xz \in L(M)</tex> <tex> \Leftrightarrow yz \in L(M)) \Leftrightarrow x \equiv_{L(M)} y</tex>, где <tex>\equiv_{L(M)}</tex> {{---}} [[Отношение_эквивалентности|отношение эквивалентности]] на множестве слов в алфавите. Таким образом, если 2 строки имеют одинаковые таблицы, то тогда они эквивалентны отношением <tex>\equiv_{L(M)}</tex>. Поскольку у нас только конечное число таблиц, отношение <tex>\equiv_{L(M)}</tex> имеет только конечное количество [[Отношение_эквивалентности|классов эквивалентности]], самое большее один для каждой таблицы. Следовательно, по теореме <tex>L(M)</tex> {{---}} регулярный язык, ч.т.д.
+
<tex>T_x = T_y \Rightarrow \forall z (M\ \text{accepts}\ xz \Leftrightarrow M\ \text{accepts}\ yz)</tex> <tex> \Leftrightarrow \forall z (xz \in L(M)</tex> <tex> \Leftrightarrow yz \in L(M)) \Leftrightarrow x \equiv_{L(M)} y</tex>, где <tex>\equiv_{L(M)}</tex> {{---}} [[Отношение_эквивалентности|отношение эквивалентности]] на множестве слов в алфавите. Таким образом, если 2 строки имеют одинаковые таблицы, то тогда они эквивалентны отношением <tex>\equiv_{L(M)}</tex>. Поскольку у нас только конечное число таблиц, отношение <tex>\equiv_{L(M)}</tex> имеет только конечное количество [[Отношение_эквивалентности|классов эквивалентности]], самое большее один для каждой таблицы. Следовательно, по теореме Майхилла-Нероуда, <tex>L(M)</tex> {{---}} регулярный язык, что согласно теореме Клини, совпадает с классом и автоматных языков, ч.т.д.
 +
}}
  
 
== Пример ==
 
== Пример ==
Строка 58: Строка 70:
  
 
== См. также ==
 
== См. также ==
* [[wikipedia:ru:Теорема_Майхилла_—_Нероуда|Википедия {{---}} Теорема Майхилла-Нероуда]]
 
 
* [[Детерминированные конечные автоматы]]
 
* [[Детерминированные конечные автоматы]]
 +
* [[Локальные автоматы]]
 +
* [[Теорема Клини (совпадение классов автоматных и регулярных языков)]]
  
 
== Источники информации==
 
== Источники информации==
 
* [[wikipedia:Two-way_deterministic_finite_automaton|Wikipedia {{---}} Two-way deterministic finite automaton]]
 
* [[wikipedia:Two-way_deterministic_finite_automaton|Wikipedia {{---}} Two-way deterministic finite automaton]]
 +
* [[wikipedia:ru:Теорема_Майхилла_—_Нероуда|Википедия {{---}} Теорема Майхилла-Нероуда]]
 
* [http://arxiv.org/pdf/1208.2755.pdf Giovanni Pighizzini, ''Two-Way Finite Automata: Old and Recent Results'']
 
* [http://arxiv.org/pdf/1208.2755.pdf Giovanni Pighizzini, ''Two-Way Finite Automata: Old and Recent Results'']
 
* [http://www.cs.cornell.edu/Courses/cs682/2008sp/Handouts/2DFA.pdf Cornell University, ''Two-Way Finite Automata'']
 
* [http://www.cs.cornell.edu/Courses/cs682/2008sp/Handouts/2DFA.pdf Cornell University, ''Two-Way Finite Automata'']

Версия 11:52, 10 января 2015

Определение:
Двусторонний детерминированный конечный автомат (2ДКА) (англ. Two-way deterministic finite automaton (2DFA)) — набор из восьми элементов [math]M = \langle \Sigma , Q, L, R, s, t, r, \delta \rangle[/math], где
  • [math]\Sigma[/math] — алфавит,
  • [math]Q[/math] — множество состояний,
  • [math]L \notin \Sigma[/math] — левый маркер конца строки (англ. left endmarker),
  • [math]R \notin \Sigma[/math] — правый маркер конца строки (англ. right endmarker),
  • [math]s \in Q[/math] — начальное (стартовое) состояние,
  • [math]t \in Q[/math] — допускающее состояние,
  • [math]r \in Q[/math] — отвергающее состояние,
  • [math]\delta : Q \times \{\Sigma \cup \{L, R\}\} \to Q \times \{left, right\}[/math] — функция переходов.

Также должны быть удовлетворены следующие условия:

[math]\forall q \in Q[/math]

  • [math]\delta(q, L) = (u, right)[/math] для некоторого [math]u \in Q[/math],
  • [math]\delta(q, R) = (v, left)[/math] для некоторого [math]v \in Q[/math],

и [math]\forall b \in \Sigma \cup \{L\}[/math]

  • [math]\delta(t, b) = (t, right)[/math],
  • [math]\delta(r, b) = (r, right)[/math],
  • [math]\delta(t, R) = (t, left)[/math],
  • [math]\delta(r, R) = (r, left)[/math].

Регулярность языка

Теорема:
Классы языков ДКА и 2ДКА совпадают.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Рассмотрим длинную входную строку [math]w_1[/math] и разобьем на две подстроки [math]w_1=xz[/math]. Будем считать, что [math]w_1 = a_1 a_2 a_3 \dots a_n[/math]. Пусть [math]a_0 = L[/math] и [math]a_{n+1}=R[/math]. Так как у нас наш автомат может производить чтение в любом направлении, то граница [math]x[/math] и [math]z[/math] может быть пересечена несколько раз. Каждый раз, когда автомат пересекает границу справа налево (то есть из [math]z[/math] в [math]x[/math]), он выходит из [math]z[/math] в состояние [math]q[/math]. Когда пересечение происходит снова слева направо (если оно вообще происходит), то автомат выходит из [math]x[/math] в состояние [math]p[/math]. Теперь, если 2ДКА перейдет в [math]x[/math] в состояние [math]q[/math] заново, то он снова может появиться в состоянии [math]p[/math]. Более того, состояние [math]p[/math] зависит исключительно от [math]q[/math] и [math]x[/math]. Обозначим такое отношение через [math]T_x(q) = p[/math]. Мы может записать все такие отношения в виде конечной таблицы [math]T_x : Q \cup \{d\} \to Q \cup \{h\}[/math], где [math]Q[/math] — множество состояний 2ДКА, а [math]d[/math] и [math]h[/math] будут описаны ниже.

На входной строке [math]xz[/math] 2ДКА начнет чтение с левого маркера конца строки. В процессе работы автомата позиция чтения будет меняться. В конце концов это позиция пересечет слева направо границу между [math]x[/math] и [math]z[/math]. В первый раз это произойдет в каком-нибудь состоянии, которое будем называть [math]T_x(d)[/math] (для этого мы и выделили [math]d[/math]). Так же автомат может никогда не выйти из [math]x[/math]. В таком случае мы запишем [math]T_x(d) = h[/math]. Состояние [math]T_x(d)[/math] дает немного информации о [math]x[/math], но только конечное количество, поскольку существует только конечное количество вариантов для [math]T_x(d)[/math]. Отметим, что [math]T_x(d)[/math] зависит только от [math]x[/math] и не зависит от [math]z[/math]. Если на вход подавалась строка [math]xw[/math] вместо [math]xz[/math], то в таком случае при пересечении границы из [math]x[/math] в [math]w[/math] автомат также был бы в состоянии [math]T_x(d)[/math], потому что его значение до того момента определялось только [math]x[/math] и до тех пор все, что находится справа от границы никак не влияет.

Если [math]T_x(d) = h[/math], то 2ДКА в бесконечном цикле внутри [math]x[/math], и он никогда не допустит и не отвергнет входную строку.

Предположим, что 2ДКА переходит из [math]x[/math] в [math]z[/math] и спустя время перейти обратно в состояние [math]q[/math]. Если это происходит, то потом:

  • либо снова произойдет переход из [math]x[/math] в некоторое состояние [math]p[/math]. В таком случае мы определим [math]T_x(q)=p[/math].
  • либо никогда не перейдет. В таком случае [math]T_x(q) = h[/math].

Ещё раз отметим, что [math]T_x(q)[/math] зависит только от [math]x[/math] и [math]q[/math] и не зависит от [math]z[/math]. Если автомат переходит в [math]x[/math] справа в состояние [math]q[/math], то тогда он появится заново в состоянии [math]T_x(q)[/math] (или никогда не перейдет, если [math]T_x(q) = h[/math]), потому что автомат детерминированный, и его поведение полностью определяется [math]x[/math] и состоянием, в которое он вошел.

Если мы запишем [math]T_x(q)[/math] для каждого состояния [math]q[/math] вместе с [math]T_x(d)[/math], это даст нам всю информацию о [math]x[/math], которую можно перенести через границу между [math]x[/math] и [math]z[/math]. Все это позволит узнать [math]T_x(d)[/math] сразу после пересечения границы, а также посмотреть значения [math]T_x(q)[/math]. Если [math]y[/math] — другая строка, такая что [math]T_y=T_x[/math], то тогда [math]x[/math] и [math]y[/math] будут неразличимы.

Заметим, что у нас конечное число возможных таблиц [math]T_x : Q \cup \{d\} \to Q \cup \{h\}[/math], а именно [math](k+1)^{k+1}[/math], где [math]k[/math] — размер множество [math]Q[/math]. Таким образом, у нас конечное количество информации о [math]x[/math], которое мы может перенести через границу справа от [math]x[/math], и которое закодировано у нас в таблицe [math]T_x[/math].

Отметим также, что если [math]T_x=T_y[/math] и автомат допускает строку [math]xz[/math], то тогда он допускает и строку [math]yz[/math], потому что последовательность состояний перенесенных через границу [math]x[/math] и [math]z[/math] (либо [math]y[/math] и [math]z[/math]) в любом направлении полностью определяется таблицами [math]T_x=T_y[/math] и строкой [math]z[/math]. Чтобы допустить строку [math]xz[/math], автомат должен в какой-то момент прочитать правый маркер конца строки, находясь в допускающем состоянии [math]t[/math].

Теперь мы может использовать теорему Майхилла-Нероуда, чтобы показать, что язык [math]L(M)[/math] нашего автомата [math]M[/math] регулярный.

[math]T_x = T_y \Rightarrow \forall z (M\ \text{accepts}\ xz \Leftrightarrow M\ \text{accepts}\ yz)[/math] [math] \Leftrightarrow \forall z (xz \in L(M)[/math] [math] \Leftrightarrow yz \in L(M)) \Leftrightarrow x \equiv_{L(M)} y[/math], где [math]\equiv_{L(M)}[/math]отношение эквивалентности на множестве слов в алфавите. Таким образом, если 2 строки имеют одинаковые таблицы, то тогда они эквивалентны отношением [math]\equiv_{L(M)}[/math]. Поскольку у нас только конечное число таблиц, отношение [math]\equiv_{L(M)}[/math] имеет только конечное количество классов эквивалентности, самое большее один для каждой таблицы. Следовательно, по теореме Майхилла-Нероуда, [math]L(M)[/math] — регулярный язык, что согласно теореме Клини, совпадает с классом и автоматных языков, ч.т.д.
[math]\triangleleft[/math]

Пример

Рассмотрим следующий язык [math]L_n = (a+b)^∗a(a+b)^{n-1}a(a+b)^∗[/math] при [math]\forall n \gt 0[/math].

Он может быть легко распознан с помощью следующего недетерменированного конечного автомата.

2dfa example 1.png

Теперь построим на его основе ДКА. Мы можем построить автомат [math]A_n[/math], который запоминает последние [math]n[/math] входных символов. Следовательно, когда мы находимся в состоянии, соответствующему подстроке [math]\sigma_1 \sigma_2 \dots \sigma_n[/math], и читаем очередной символ [math]\gamma[/math], то мы переходим в состояние, которому уже будет соответствовать подстрока [math]\sigma_2 \sigma_3 \dots \sigma_n \gamma[/math]. Однако, в случае [math]\sigma_1 = \gamma = a[/math] автомат переходит в допускающее состояние, где в цикле может переходить на любому символу. Следует отметить, что такая стратегия строит ДКА c [math]2^n + 1[/math] состояниями. Ниже представлен автомат [math]A_3[/math], который распознает язык [math]L_3[/math].

2dfa example 2.png

Покажем, что построенные таким образом автоматы будут минимальными.

  • Каждые две попарно различных строки [math]x[/math] и [math]y[/math] длины [math]n[/math] различимы. Чтобы доказать это, достаточно рассмотреть строку [math]b^{i-1}a[/math], где [math]i : 1 \leqslant i \leqslant n[/math] — самая левая позиция символа, в которой начинают различаться строки [math]x[/math] и [math]y[/math], и проверить, что ровно одна строка [math]xb^{i-1}a[/math] или [math]yb^{i-1}a[/math] принадлежит [math]L_n[/math].
  • Каждая строка длины [math]n[/math] не принадлежит [math]L_n[/math] и, следовательно, различима со строкой [math]a^{n+1}[/math], которая принадлежит [math]L_n[/math].
  • Таким образом, [math]2^n + 1[/math] строк в [math]\Sigma^n \cup \{a^{n+1}\}[/math] являются попарно различимыми для [math]L_n[/math]. Как следствие, [math]2^n + 1[/math] — минимальное количество состояний для ДКА, который способен распознать язык [math]L_n[/math].

Чтобы определить, что строка [math]w=c_1 \dots c_n[/math] принадлежит языку [math]L_n[/math], нужно для [math]\forall i = 1, \dots, |w|-n[/math] проверить, что [math]c_i=c_{i+n}=a[/math]. Строка будет допустимой, если условие сработает хотя бы для одного [math]i[/math]. Этот алгоритм может быть просто реализован с помощью 2ДКА. Будем для каждого [math]i[/math] двигаться на [math]n[/math] позиций вперед, а потом на [math]n-1[/math] позиций назад до позиции [math]i+1[/math]. Кроме того, при движении с позиции [math]i[/math] до [math]i+n[/math] автомат должен помнить сохраняется ли условие [math]c_i=a[/math]. Такой подход требует [math]O(n)[/math] состояний.

См. также

Источники информации