Действие группы на множестве — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Создание статьи, базовые понятия)
 
м (rollbackEdits.php mass rollback)
 
(не показано 17 промежуточных версий 5 участников)
Строка 1: Строка 1:
{{В разработке}}
+
Пусть имеется множество <tex>X</tex>.
 
 
Пусть имеется множество <math>X</math>.
 
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition=
 
|definition=
<math>G</math> действует на <math>X</math>, если
+
[[Группа]] <tex>G</tex> '''действует''' на <tex>X</tex>, если любых <tex>g \in G</tex> и <tex>x \in X</tex> определено '''действие элемента <tex>g</tex> на элемент <tex>x</tex>''' (обозначаемое <tex>gx</tex>), обладающее следующими свойствами:
# <math> \forall g \in G , x \in X \quad gx \in X </math>
+
# <tex>gx \in X</tex>,
# <math> \forall g_1, g_2 \in G , x \in X \quad (g_1 g_2)x = g_1(g_2 x) </math>
+
# Для любых <tex>g_1, g_2 \in G, x \in X</tex> выполнено <tex>(g_1 g_2)x = g_1(g_2 x)</tex>,
# <math> \forall x \in X \quad ex = x </math>
+
# Для любого <tex>x \in X</tex> выполнено <tex>e x = x</tex>.
 
}}
 
}}
  
 +
== Примеры ==
 +
*  '''Действие группы на себя'''. Пусть <tex>G</tex> {{---}} группа с операцией <tex>\cdot</tex> и множество <tex>X = G</tex>. Зададим отображение <tex>F: G\times X\to X</tex>, такое что <tex>f(g,x) = g \cdot x</tex>. Тогда все свойства из определения выполнятся вследствие соответствующих свойств группы. Таким образом группа <tex>G</tex> действует на <tex>X</tex>. Такое действие называется "действие левыми сдвигами".
 +
* '''Действие сопряжением'''. Пусть <tex>G</tex> {{---}} группа с операцией <tex>\cdot</tex> и множество <tex>X = G</tex>. Зададим отображение <tex>F: G\times X\to X</tex>, такое что <tex>f(g,x) = g \cdot x \cdot g^{-1}</tex>. Все свойства из определения выполнены, следовательно группа <tex>G</tex> действует на <tex>X</tex>.
 +
 +
== Орбита, Стабилизатор и Фиксатор ==
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition=
 
|definition=
'''Орбита''' <math>Orb(x)=\{gx \mid g \in G\}</math>
+
'''Орбита''' <tex>Orb(x)</tex> элемента <tex>x \in X</tex> {{---}} это множество <tex>\{gx \mid g \in G\}</tex>.
 
}}
 
}}
 
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition=
 
|definition=
'''Стабилизатор''' <math>St(x)=\{g \in G \mid gx = x\}</math>
+
'''Стабилизатор''' <tex>St(x)</tex> элемента <tex>x \in X</tex> {{---}} это множество <tex>\{g \in G \mid gx = x\}</tex>.
 
}}
 
}}
  
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|definition=
 
|definition=
'''Фиксатор''' <math>Fix(g)=\{x \in X \mid gx = x\}</math>
+
'''Фиксатор''' <tex>Fix(g)</tex> элемента <tex>g \in G</tex> {{---}} это множество <tex>\{x \in X \mid gx = x\}</tex>.
 +
}}
 +
 
 +
== Свойства ==
 +
{{Утверждение
 +
|id=th1
 +
|statement=
 +
Стабилизатор любого элемента <tex>x \in X</tex> является [[подгруппа|подгруппой]] <tex>G</tex>.
 +
|proof=
 +
Пусть <tex>g_1, g_2 \in St(x)</tex>. Тогда <tex>g_1 x = x</tex> и <tex>g_2 x = x</tex>. Поэтому, <tex>(g_1 g_2) x = g_1 (g_2 x) = g_1 x = x</tex>. Следовательно, <tex>g_1 g_2 \in St(x)</tex>.
 +
Пусть <tex>g \in St(x)</tex>. Тогда <tex>g x = x</tex>, следовательно, <tex>g^{-1} g x = g^{-1} x</tex>. Поэтому, <tex>g^{-1} x = x</tex> и <tex>g^{-1} \in St(x)</tex>.
 
}}
 
}}
 +
 +
{{Утверждение
 +
|id=th2
 +
|statement=
 +
<tex> Orb(x) \cap Orb(y) \neq \varnothing \Rightarrow Orb(x) = Orb(y) </tex>
 +
|proof=
 +
<tex>Orb(x) \cap Orb(y) \neq \varnothing \Rightarrow</tex> <tex>\exists</tex> <tex>  g_1, g_2 \in G  : g_1 x = g_2 y \Rightarrow x = g_1 ^ {-1} g_2 y \Rightarrow x \in Orb(y) \Rightarrow Orb(x) \subseteq Orb(y) </tex>. <br>
 +
 +
Аналогично доказываем, что <tex>Orb(y) \subseteq Orb(x)</tex>, откуда следует, что <tex>Orb(x) = Orb(y)</tex>
 +
}}
 +
 +
Видно, что бинарное отношение <tex>x \mathcal R y \Leftrightarrow Orb(x) = Orb(y)</tex> является отношением эквивалентности на <tex>X</tex> и разбивает его на независимые классы эквивалентности − орбиты. Можно поставить задачу о нахождении количества орбит, которая решается с помощью [[Лемма Бернсайда, задача о числе ожерелий|леммы Бернсайда]].
 +
 +
[[Категория: Теория групп]]

Текущая версия на 19:38, 4 сентября 2022

Пусть имеется множество [math]X[/math].

Определение:
Группа [math]G[/math] действует на [math]X[/math], если любых [math]g \in G[/math] и [math]x \in X[/math] определено действие элемента [math]g[/math] на элемент [math]x[/math] (обозначаемое [math]gx[/math]), обладающее следующими свойствами:
  1. [math]gx \in X[/math],
  2. Для любых [math]g_1, g_2 \in G, x \in X[/math] выполнено [math](g_1 g_2)x = g_1(g_2 x)[/math],
  3. Для любого [math]x \in X[/math] выполнено [math]e x = x[/math].


Примеры

  • Действие группы на себя. Пусть [math]G[/math] — группа с операцией [math]\cdot[/math] и множество [math]X = G[/math]. Зададим отображение [math]F: G\times X\to X[/math], такое что [math]f(g,x) = g \cdot x[/math]. Тогда все свойства из определения выполнятся вследствие соответствующих свойств группы. Таким образом группа [math]G[/math] действует на [math]X[/math]. Такое действие называется "действие левыми сдвигами".
  • Действие сопряжением. Пусть [math]G[/math] — группа с операцией [math]\cdot[/math] и множество [math]X = G[/math]. Зададим отображение [math]F: G\times X\to X[/math], такое что [math]f(g,x) = g \cdot x \cdot g^{-1}[/math]. Все свойства из определения выполнены, следовательно группа [math]G[/math] действует на [math]X[/math].

Орбита, Стабилизатор и Фиксатор

Определение:
Орбита [math]Orb(x)[/math] элемента [math]x \in X[/math] — это множество [math]\{gx \mid g \in G\}[/math].


Определение:
Стабилизатор [math]St(x)[/math] элемента [math]x \in X[/math] — это множество [math]\{g \in G \mid gx = x\}[/math].


Определение:
Фиксатор [math]Fix(g)[/math] элемента [math]g \in G[/math] — это множество [math]\{x \in X \mid gx = x\}[/math].


Свойства

Утверждение:
Стабилизатор любого элемента [math]x \in X[/math] является подгруппой [math]G[/math].
[math]\triangleright[/math]

Пусть [math]g_1, g_2 \in St(x)[/math]. Тогда [math]g_1 x = x[/math] и [math]g_2 x = x[/math]. Поэтому, [math](g_1 g_2) x = g_1 (g_2 x) = g_1 x = x[/math]. Следовательно, [math]g_1 g_2 \in St(x)[/math].

Пусть [math]g \in St(x)[/math]. Тогда [math]g x = x[/math], следовательно, [math]g^{-1} g x = g^{-1} x[/math]. Поэтому, [math]g^{-1} x = x[/math] и [math]g^{-1} \in St(x)[/math].
[math]\triangleleft[/math]
Утверждение:
[math] Orb(x) \cap Orb(y) \neq \varnothing \Rightarrow Orb(x) = Orb(y) [/math]
[math]\triangleright[/math]

[math]Orb(x) \cap Orb(y) \neq \varnothing \Rightarrow[/math] [math]\exists[/math] [math] g_1, g_2 \in G : g_1 x = g_2 y \Rightarrow x = g_1 ^ {-1} g_2 y \Rightarrow x \in Orb(y) \Rightarrow Orb(x) \subseteq Orb(y) [/math].

Аналогично доказываем, что [math]Orb(y) \subseteq Orb(x)[/math], откуда следует, что [math]Orb(x) = Orb(y)[/math]
[math]\triangleleft[/math]

Видно, что бинарное отношение [math]x \mathcal R y \Leftrightarrow Orb(x) = Orb(y)[/math] является отношением эквивалентности на [math]X[/math] и разбивает его на независимые классы эквивалентности − орбиты. Можно поставить задачу о нахождении количества орбит, которая решается с помощью леммы Бернсайда.