Эта статья требует доработки!
- Необходимо добавить примеры.
Если Вы исправили некоторые из указанных выше замечаний, просьба дописать в начало соответствующего пункта (Исправлено).
Пусть имеется множество [math]X[/math].
| Определение: |
[math]G[/math] действует на [math]X[/math], если
- [math] \forall g \in G , x \in X \quad gx \in X [/math]
- [math] \forall g_1, g_2 \in G , x \in X \quad (g_1 g_2)x = g_1(g_2 x) [/math]
- [math] \forall x \in X \quad ex = x [/math]
|
| Определение: |
| Орбита [math]Orb(x)=\{gx \mid g \in G\}[/math] |
| Определение: |
| Стабилизатор [math]St(x)=\{g \in G \mid gx = x\}[/math] |
| Определение: |
| Фиксатор [math]Fix(g)=\{x \in X \mid gx = x\}[/math] |
| Утверждение: |
Стабилизатор замкнут относительно операции в группе (умножения) |
| [math]\triangleright[/math] |
|
[math] \forall g_1, g_2 \in G g_1, g_2 \in St(x) \Rightarrow g_1 x = x \And g_2 x = x \Rightarrow (g_1 g_2) x = g_1 (g_2 x) = g_1 x=x [/math] |
| [math]\triangleleft[/math] |
| Утверждение: |
[math] Orb(x) \cap Orb(y) \neq \varnothing \Rightarrow Orb(x) = Orb(y) [/math] |
| [math]\triangleright[/math] |
|
[math]Orb(x) \cap Orb(y) \neq \varnothing \Rightarrow[/math] [math]\exist[/math] [math] g_1, g_2 \in G : g_1 x = g_2 y \Rightarrow x = g_1 ^ {-1} g_2 y \Rightarrow x \in Orb(y) \Rightarrow Orb(x) \subseteq Orb(y) [/math].
Аналогично доказываем, что [math]Orb(y) \subseteq Orb(x)[/math], откуда следует, что [math]Orb(x) = Orb(y)[/math] |
| [math]\triangleleft[/math] |
Видно, что бинарное отношение [math]x \mathcal R y \Leftrightarrow Orb(x) = Orb(y)[/math] является отношением эквивалентности на [math]X[/math] и разбивает его на независимые классы эквивалентности − орбиты. Можно поставить задачу о нахождении количества орбит, которая решается с помощью леммы Бернсайда.
Пример 1: Пусть [math]G[/math] - группа с операцией [math]'*'[/math] и множество [math]X = G[/math]. Зададим отображение [math]F: G\times X\to X[/math], такое что [math]f(g,x) = g*x[/math]. Тогда все свойства из определения выполнятся вследствие соответствующих свойств группы. Таким образом группа [math]G[/math] действует на [math]X[/math].
Пример 2: Пусть [math]G[/math] - группа с операцией [math]'*'[/math] и множество [math]X = G[/math]. Зададим отображение [math]F: G\times X\to X[/math], такое что [math]f(g,x) = g*x*g^{-1}[/math]. Все свойства из определения выполнены, следовательно группа [math]G[/math] действует на [math]X[/math].
