Редактирование: Действие перестановки на набор из элементов, представление в виде циклов


__TOC__
== Действие перестановки на набор элементов ==

{{Определение
|definition=
Пусть <tex>\pi</tex> {{---}} перестановка из <tex>n</tex> элементов, и <tex>\{a_i\}</tex> {{---}} множество некоторых объектов, занумерованных числами от <tex>1</tex> до <tex>n</tex>. Тогда '''результатом действия перестановки''' на этот набор объектов назовём множество объектов <tex>\{b_i\}</tex>, занумерованных числами от одного до <tex>n</tex>, причём <tex>b_i = a_{\pi_i}</tex>.
}}

Обозначим за <tex>A</tex> множество (не пронумерованных) объектов <tex>\{a_1, \dots, a_n\}</tex>. Поскольку перестановку можно рассматривать как отображение <tex>\pi \colon \{1, \dots, n\} \to \{a_1, \dots, a_n\}</tex>, а нумерацию как отображение <tex>\alpha \colon \{1, \dots, n\} \to A</tex>, то [[Действие_группы_на_множестве|действие перестановки]] можно определить как композицию отображений <tex>\alpha \circ \pi</tex>.

Например, рассмотрим множество <tex>A = (a, b, c, d)</tex> и перестановку <tex>\pi = \langle 3, 4, 1, 2 \rangle</tex>. Тогда результат действия <tex>\pi</tex> на <tex>A</tex> {{---}} упорядоченное множество <tex>\pi(A) = (c, d, a, b)</tex>. Если рассмотреть [[Основные_определения_теории_графов|граф]] перестановки (описано ниже), то действие перестановки можно представить таким образом: каждый элемент устанавливается в вершину графа, соответствующую номеру этого элемента, после чего каждый элемент передвигается по исходящему из этой вершины ребру.

[[Файл:Permutation_action.png|400px|frame|center|Иллюстрация действия перестановки]]

Также, композицию перестановок можно выразить как действие одной перестановки на другую.
Стоит отметить, что действие перестановки <tex>\pi^n</tex> соответствует переходу по графу <tex>n</tex> раз.

Действие обратной перестановки над множеством <tex>A</tex> соответствует переходу элементов по развёрнутым рёбрам и даёт упорядоченное множество <tex>b</tex>, для которого верно <tex>\pi(b) = i(A)</tex>.
{{Утверждение
|statement=
Если <tex>a = i(A), b = \pi^{-1}(A)</tex>, то <tex>\pi(b) = a</tex>;
|proof=
Поскольку <tex>b</tex> можно представить как <tex>A \circ(\alpha \circ \pi^{-1})</tex>, то <tex>\pi(b) = (A \circ \alpha \circ \pi^{-1}) \circ \pi = A \circ \alpha \circ (\pi^{-1} \circ \pi) = A \circ \alpha = a </tex>
}}

==Циклы==
{{Определение
|definition=  
'''Циклом''' длины <tex>~l</tex> называется такая перестановка <tex>\pi,</tex> которая тождественна на всём множестве <tex>X,</tex> кроме подмножества <tex>\{x_1,x_2,\dots,x_l\}\subset X</tex> и <tex>\pi(x_l)=x_1</tex>, <tex>\pi(x_i)=x_{i+1}</tex>. Обозначается <tex>(x_1,x_2,\dots,x_l)</tex>.
}}
[[Файл:cycles.gif|150px|right|frame|Изображение перестановки в виде графа]]
Перестановку можно записать в виде произведения непересекающихся циклов, причём единственным образом с точностью до порядка следования циклов в произведении. Например: <tex>(1, 5, 2)(3, 6)(4)=\langle 5,1,6,4,2,3\rangle </tex>. 

Цикл может быть записан по разному, например, в приведенном выше примере цикл <tex>(1, 5, 2)</tex> может быть записан как <tex>(5, 2, 1)</tex>, <tex>(2, 1, 5)</tex>, но не может быть записан как <tex>(2, 5, 1)</tex>.

Перестановку можно представить в виде [[Основные_определения_теории_графов|графа]]. Граф содержит ребро от вершины <tex>x_i</tex> к вершине <tex>x_j</tex> если <tex>\pi(x_i) = x_j</tex>. Тогда циклы перестановки соответствуют циклическим путям в графе.

С циклами связаны некоторые интересные свойства перестановок.
{{Определение
|definition='''Степенью перестановки''' называется минимальное число <tex>n \in N</tex> такое, что <tex>\pi^n = i</tex>}}

{{Утверждение
|statement=
Степень перестановки равна наименьшему общему кратному длин всех циклов
|proof=
Пусть <tex>k</tex> — степень перестановки. Граф перестановки разбит на циклы, и для того, чтобы какой-то элемент прошёл по своему циклу один раз, нужно возвести перестановку в степень <tex>l</tex>, где <tex>l</tex> — длина цикла. Если элемент проходит цикл несколько раз и возвращается на своё место, то можно сделать вывод о том, что перестановка возводится в степень кратную <tex>l</tex>. Тогда только в том случае, когда <tex>k</tex> делится на длины всех циклов, все элементы вернутся на свои места, а наименьшее такое <tex>k</tex> — это НОК длин всех циклов. }}


{{Утверждение
|statement=
Если длины всех циклов не превышают <tex>2</tex>, то перестановка является [[Умножение_перестановок,_обратная_перестановка,_группа_перестановок#def_involution | инволюцией]].
|proof=
Действительно, в таком случае по вышеупомянутому <tex>\pi^2 = i</tex>. Домножив на <tex>\pi^{-1}</tex> получим <tex>\pi^{-1} = \pi</tex>. }}

==Поиск всех циклов в перестановке==
{{Задача
|definition=Дана перестановка <tex>\pi</tex> из <tex>n</tex> элементов, требуется найти все циклы в ней. }}
Рассмотрим элемент перестановки <tex>\pi_i</tex>. Добавим его к циклу, отметим позицию <tex>i</tex> посещенной и перейдем к <tex>\pi_{\pi_i}</tex>. Если мы перешли в позицию <tex>i</tex>, которую уже посещали, значит мы нашли очередной цикл перестановки. Перейдем к первой непосещенной позиции и продолжим поиск. 

Рассмотрим в качестве примера поиск циклов в перестановке <tex>\langle2, 4, 5, 1, 3\rangle</tex>:

# В позиции <tex>1</tex> находится число <tex>2</tex>. Добавим его к новому циклу и перейдем в позицию <tex>2</tex>. Аналогично добавим к циклу числа <tex>4</tex> и <tex>1</tex>. Перейдем в позицию <tex>1</tex>, которую мы уже посещали {{---}} нашли первый цикл <tex>(2, 4, 1)</tex>.
# Аналогично найдем второй цикл <tex>(5, 3)</tex>.
# Таким образом, <tex>(2, 4, 1)(5, 3)=\langle2, 4, 5, 1, 3\rangle</tex>

===Псевдокод алгоритма===

<code>
 '''function''' findCycles('''int''' p[]):
    '''vector<bool>''' used(n)             ''<font color="green">// массив, где отмечены посещенные позиции</font>''
  
    '''for''' i = 1 '''to''' n
        '''if''' '''not''' used[i]
            j = i
            '''vector<int>''' cycle
            '''while''' '''not''' used[j]
                cycle.push_back(p[j])
                used[j] = ''true''
                j = p[j]
            '''print''' cycle              ''<font color="green">// распечатаем очередной цикл перестановки</font>''
</code>

==См. также==
*[[Теорема Кэли]]

== Источники ==
* [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%B5%D1%80%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B0%D0%BD%D0%BE%D0%B2%D0%BA%D0%B0 Википедия {{---}} Перестановка]
* [https://en.wikipedia.org/wiki/Permutation Wikipedia {{---}} Permutation]

[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория: Комбинаторика ]]