Перестановка — это отображение __TOC__== Действие перестановки на набор элементов == {{Определение|definition=Пусть <mathtex>\pi:X</tex> {{---}} перестановка из <tex>n</tex> элементов, и <tex>\{a_i\rightarrow X}</mathtex>{{---}} множество некоторых объектов, которое каждому занумерованных числами от <tex>1</tex> до <tex>n<math/tex>x_i . Тогда '''результатом действия перестановки''' на этот набор объектов назовём множество объектов <tex>\{b_i\in X}</tex>, занумерованных числами от одного до <tex>n</mathtex> ставит во взаимно-однозначное соответствие , причём <mathtex>x_j b_i = a_{\in Xpi_i}</mathtex>. Индексы }} Обозначим за <tex>A</tex> множество (не пронумерованных) объектов <mathtex>i\{a_1, \dots,j a_n\}</tex>. Поскольку перестановку можно рассматривать как отображение <tex>\pi \in colon \mathcal{f}1, 2, \ldotsdots, n\mathcal} \to \{ga_1, \dots, a_n\}</mathtex>, где а нумерацию как отображение <mathtex>\alpha \colon \{1, \dots, n = \mathcal{j}X\mathcal{j}to A</tex>, то [[Действие_группы_на_множестве|действие перестановки]] можно определить как композицию отображений <tex>\alpha \circ \pi</mathtex>. Число Например, рассмотрим множество <mathtex>~nA = (a, b, c, d)</tex> и перестановку <tex>\pi = \langle 3, 4, 1, 2 \rangle</tex>. Тогда результат действия <tex>\pi</tex> на <tex>A</tex> {{---}} упорядоченное множество <tex>\pi(A) = (c, d, a, b)</mathtex> называют порядком . Если рассмотреть [[Основные_определения_теории_графов|граф]] перестановки (описано ниже), то действие перестановки. Перестановку можно записать представить таким образом: каждый элемент устанавливается в виде упорядоченного набора вершину графа, соответствующую номеру этого элемента, после чего каждый элемент передвигается по исходящему из чисел этой вершины ребру. [[Файл:Permutation_action.png|400px|frame|center|Иллюстрация действия перестановки]] Также, композицию перестановок можно выразить как действие одной перестановки на другую.Стоит отметить, что действие перестановки <mathtex>1, 2,\ldots, pi^n</tex> соответствует переходу по графу <tex>n</mathtex>раз. Элемент набора Действие обратной перестановки над множеством <mathtex>~a_kA</tex> соответствует переходу элементов по развёрнутым рёбрам и даёт упорядоченное множество <tex>b</mathtex> означает, что для которого верно <mathtex>~\pi (x_ib) = i(A)</tex>.{{Утверждение|statement=Если <tex>a = i(A) , b = x_\pi^{a_i-1} (A)</mathtex>. Таким образом, если то <tex>\pi(b) = a</tex>;|proof=Поскольку <tex>b</tex> можно представить как <mathtex> A \circ(x_\alpha \circ \pi^{p_1-1})</tex>,x_то <tex>\pi(b) = (A \circ \alpha \circ \pi^{p_2-1},) \circ \pi = A \circ \alpha \circ (\ldots,x_pi^{p_n-1}\circ \pi)= A \circ \alpha = a </mathtex> — упорядоченный набор элементов из множества}} ==Циклы=={{Определение|definition= '''Циклом''' длины <mathtex>~l</tex> называется такая перестановка <tex>\pi,</tex> которая тождественна на всём множестве <tex>X,</mathtex>кроме подмножества <tex>\{x_1, то x_2,\dots,x_l\}\subset X</tex> и <mathtex>\pi (x_l)=x_1</tex>, <tex>\pi(x_i)=x_{p_1i+1}</tex>. Обозначается <tex>(x_1,x_{p_2}x_2,\ldotsdots,x_{p_nx_l)</tex>.}}[[Файл:cycles.gif|150px|right|frame|Изображение перестановки в виде графа]]Перестановку можно записать в виде произведения непересекающихся циклов, причём единственным образом с точностью до порядка следования циклов в произведении. Например: <tex>(1, 5, 2)(3, 6)(4) = \langle 5,1,6,4,2,3\rangle </tex>. Цикл может быть записан по разному, например, в приведенном выше примере цикл <tex>(x_1, 5, 2)</tex> может быть записан как <tex>(5, 2, 1)</tex>, <tex>(2, 1, 5)</tex>, но не может быть записан как <tex>(2, 5, 1)</tex>. Перестановку можно представить в виде [[Основные_определения_теории_графов|графа]]. Граф содержит ребро от вершины <tex>x_i</tex> к вершине <tex>x_j</tex> если <tex>\pi(x_i) = x_j</tex>. Тогда циклы перестановки соответствуют циклическим путям в графе. С циклами связаны некоторые интересные свойства перестановок.{{Определение|definition='''Степенью перестановки''' называется минимальное число <tex>n \in N</tex> такое, что <tex>\pi^n = i</tex>}} {{q_1Утверждение|statement=Степень перестановки равна наименьшему общему кратному длин всех циклов|proof=Пусть <tex>k</tex> — степень перестановки. Граф перестановки разбит на циклы, и для того, чтобы какой-то элемент прошёл по своему циклу один раз, нужно возвести перестановку в степень <tex>l</tex>, где <tex>l</tex> — длина цикла. Если элемент проходит цикл несколько раз и возвращается на своё место, то можно сделать вывод о том, что перестановка возводится в степень кратную <tex>l</tex>. Тогда только в том случае, когда <tex>k</tex> делится на длины всех циклов, все элементы вернутся на свои места, а наименьшее такое <tex>k</tex> — это НОК длин всех циклов. }} {{Утверждение|statement=Если длины всех циклов не превышают <tex>2</tex>, то перестановка является [[Умножение_перестановок,_обратная_перестановка,_группа_перестановок#def_involution | инволюцией]].|proof=Действительно,x_в таком случае по вышеупомянутому <tex>\pi^2 = i</tex>. Домножив на <tex>\pi^{-1}</tex> получим <tex>\pi^{q_2-1} = \pi</tex>. }}, ==Поиск всех циклов в перестановке=={{Задача|definition=Дана перестановка <tex>\ldotspi</tex> из <tex>n</tex> элементов,x_{q_nтребуется найти все циклы в ней. }}) Рассмотрим элемент перестановки <tex>\pi_i</mathtex>. Добавим его к циклу, где отметим позицию <tex>i</tex> посещенной и перейдем к <mathtex>q_i = a_\pi_{p_i\pi_i}</mathtex>. НапримерЕсли мы перешли в позицию <tex>i</tex>, которую уже посещали, применив перестановку значит мы нашли очередной цикл перестановки. Перейдем к первой непосещенной позиции и продолжим поиск. Рассмотрим в качестве примера поиск циклов в перестановке <mathtex>~(\langle2, 4, 5, 1, 3\rangle</tex>: # В позиции <tex>1</tex> находится число <tex>2</tex>. Добавим его к новому циклу и перейдем в позицию <tex>2</tex>. Аналогично добавим к циклу числа <tex>4</tex> и <tex>1</tex>. Перейдем в позицию <tex>1</tex>,которую мы уже посещали {{---}} нашли первый цикл <tex>(2,4,1)</mathtex> к набору элементов .# Аналогично найдем второй цикл <mathtex>~(x_15,x_2,x_3,x_43)</mathtex>.# Таким образом, получим набор <mathtex>~(x_42, 4, 1)(5,x_23)=\langle2, 4, 5, 1,x_13\rangle</tex> ===Псевдокод алгоритма=== '''function''' findCycles('''int''' p[]): '''vector<bool>''' used(n) ''<font color="green">// массив,x_3где отмечены посещенные позиции</font>'' '''for''' i = 1 '''to''' n '''if''' '''not''' used[i] j = i '''vector<int>''' cycle '''while''' '''not''' used[j] cycle.push_back(p[j]) used[j] = ''true'' j = p[j] '''print''' cycle ''<font color="green">// выведем на экран очередной цикл перестановки</mathfont>'' ==См. также==*[[Теорема Кэли]] == Источники ==* [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%B5%D1%80%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B0%D0%BD%D0%BE%D0%B2%D0%BA%D0%B0 Википедия {{---}} Перестановка]* [https://en.wikipedia.org/wiki/Permutation Wikipedia {{---}} Permutation] [[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]][[Категория: Комбинаторика ]]
