Действие перестановки на набор из элементов, представление в виде циклов — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
Строка 1: Строка 1:
Перестановка — это отображение <math>\pi:X\rightarrow X</math>, которое каждому <math>x_i \in X</math> ставит во взаимно-однозначное соответствие <math>x_j \in X</math>. Индексы <math>i,j \in \mathcal{f}1, 2, \ldots, n\mathcal{g}</math>, где <math>n = \mathcal{j}X\mathcal{j}</math>. Число
+
'''Перестановка''' — это отображение <math>\pi:X\rightarrow X</math>, которое каждому <math>x_i \in X</math> ставит во взаимно-однозначное соответствие <math>x_j \in X</math>
<math>~n</math> называют порядком перестановки. Перестановку можно записать в виде упорядоченного набора из чисел <math>1, 2,\ldots, n</math>. Элемент набора <math>~a_k</math> означает, что <math>~\pi (x_i) = x_{a_i} </math>. Таким образом, если <math> (x_{p_1},x_{p_2},\ldots,x_{p_n})</math> — упорядоченный набор элементов из множества<math>~X</math>, то <math>\pi ((x_{p_1},x_{p_2},\ldots,x_{p_n})) = (x_{q_1},x_{q_2},\ldots,x_{q_n}) </math>, где <math>q_i = a_{p_i}</math>. Например, применив перестановку <math>~(3,2,4,1)</math> к набору элементов <math>~(x_1,x_2,x_3,x_4)</math>, получим набор <math>~(x_4,x_2,x_1,x_3)</math>.
+
 
 +
Индексы <math>i,j \in \mathcal{f}1, 2, \ldots, n\mathcal{g}</math>, где <math>n = \mathcal{j}X\mathcal{j}</math>.
 +
Число <math>~n</math> называют порядком перестановки. Перестановку можно записать в виде упорядоченного набора из чисел <math>1, 2,\ldots, n</math>.
 +
Элемент такого набора <math>~<a_1,a_2,\ldots,a_n>~ a_k</math> означает, что <math>~\pi (x_{a_k}) = x_k </math>. Таким образом, если <math> \Theta <x_1,x_{2},\ldots,x_{n}></math> — упорядоченный набор элементов из множества<math>~X</math>, то <math>\pi (<x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}>) = <x_{q_1},x_{q_2},\ldots,x_{q_n}> </math>, где <math>q_{a_i} = i</math>. Например, применив перестановку <math>~<3,2,4,1>)</math> к набору элементов <math>~(x_1,x_2,x_3,x_4)</math>, получим набор <math>~<x_4,x_2,x_1,x_3></math>. <br\>
 +
==Произведение перестановок==
 +
Произведением перестановок <math>~\pi</math> и <math>~\sigma</math> называется композиция (т.е. последовательное применение) этих перестановок: <math>(\pi*\sigma)(\Theta) = \pi(\sigma(\Theta)) = \pi \circ \sigma (\Theta)</math>.
 +
Легко показать, что произведение перестановок тоже является перестановкой, причем если <math>~\phi = \pi*\sigma</math>, то <math>\phi(x_i) = \pi \circ \sigma (x_i)</math>.
 +
==Циклы==
 +
Циклом длины <math>~l</math> называется такая подстановка <math>~\pi,</math> которая тождественна на всём множестве <math>X,</math> кроме подмножества <math>\{x_1,x_2,\dots,x_l\}\subset X</math> и <math>~\pi(x_l)=x_1,</math> <math>~\pi(x_i)=x_{i+1}.</math> Обозначается <math>(x_1,x_2,\dots,x_l).</math> Перестановку также можно записать в виде произведения непересекающихся циклов, причём единственным образом с точностью до порядка следования циклов в произведении. Например:
 +
: <math>~(1, 5, 2)(3, 6)(4)=<5,1,6,4,2,3> </math>.
 +
[[Файл:Циклы_мал.png]]

Версия 23:52, 9 декабря 2010

Перестановка — это отображение [math]\pi:X\rightarrow X[/math], которое каждому [math]x_i \in X[/math] ставит во взаимно-однозначное соответствие [math]x_j \in X[/math]

Индексы [math]i,j \in \mathcal{f}1, 2, \ldots, n\mathcal{g}[/math], где [math]n = \mathcal{j}X\mathcal{j}[/math]. Число [math]~n[/math] называют порядком перестановки. Перестановку можно записать в виде упорядоченного набора из чисел [math]1, 2,\ldots, n[/math]. Элемент такого набора [math]~\lt a_1,a_2,\ldots,a_n\gt ~ a_k[/math] означает, что [math]~\pi (x_{a_k}) = x_k [/math]. Таким образом, если [math] \Theta \lt x_1,x_{2},\ldots,x_{n}\gt [/math] — упорядоченный набор элементов из множества[math]~X[/math], то [math]\pi (\lt x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}\gt ) = \lt x_{q_1},x_{q_2},\ldots,x_{q_n}\gt [/math], где [math]q_{a_i} = i[/math]. Например, применив перестановку [math]~\lt 3,2,4,1\gt )[/math] к набору элементов [math]~(x_1,x_2,x_3,x_4)[/math], получим набор [math]~\lt x_4,x_2,x_1,x_3\gt [/math]. <br\>

Произведение перестановок

Произведением перестановок [math]~\pi[/math] и [math]~\sigma[/math] называется композиция (т.е. последовательное применение) этих перестановок: [math](\pi*\sigma)(\Theta) = \pi(\sigma(\Theta)) = \pi \circ \sigma (\Theta)[/math]. Легко показать, что произведение перестановок тоже является перестановкой, причем если [math]~\phi = \pi*\sigma[/math], то [math]\phi(x_i) = \pi \circ \sigma (x_i)[/math].

Циклы

Циклом длины [math]~l[/math] называется такая подстановка [math]~\pi,[/math] которая тождественна на всём множестве [math]X,[/math] кроме подмножества [math]\{x_1,x_2,\dots,x_l\}\subset X[/math] и [math]~\pi(x_l)=x_1,[/math] [math]~\pi(x_i)=x_{i+1}.[/math] Обозначается [math](x_1,x_2,\dots,x_l).[/math] Перестановку также можно записать в виде произведения непересекающихся циклов, причём единственным образом с точностью до порядка следования циклов в произведении. Например:

[math]~(1, 5, 2)(3, 6)(4)=\lt 5,1,6,4,2,3\gt [/math].

Циклы мал.png