Изменения

Возьмем структуру данных [[Саморасширяющийся массив|вектординамический массив]]. В её стандартной реализации мы умеем добавлять элемент в конец вектора, узнавать значение элемента, стоящего на определенной позиции, изменять элемент по номеру и удалять последний элемент. Предположим, что нам необходима структура данных с вышеуказанными свойствами, а также с операциями: добавить элемент в любое место (с соответствующим изменением нумерации элементов) и удалить любой элемент (также с соответствующим изменением нумерации). Такая структура существует и называется Такую структуру можно реализовать на базе декартового дерева, результат часто называют '''декартово дерево по неявному ключу''' (англ. ''Treap with implicit key'').[[Файл:Tree_1.png|right|250px|thumb|Пример описанного дерева с демонстрацией определения ключа <tex>===Ключ X</tex>]]===Как известно, [[декартово дерево]] {{---}} это структура данных, объединяющая в себе [[Дерево_поиска,_наивная_реализация|бинарное дерево поиска ]] и [[Двоичная_куча|бинарную кучу]]. При реализации же декартова дерева по неявному ключу модифицируем эту структуру. А именно, оставим в нем только приоритет <tex>Y</tex>, а вместо ключа <tex>X</tex> будем использовать следующую величину: '''количество элементов в нашей структуре, находящихся левее нашего элемента'''. Иначе говоря, будем считать ключом порядковый номер нашего элемента в дереве, уменьшенный на единицу.

===Вспомогательная величина С===Решается эта проблема довольно просто. Основная идея заключается в том, что такой ключ <tex>X</tex> сам по себе нигде не хранится. Вместо него будем хранить вспомогательную величину <tex>C</tex>: '''количество вершин в поддереве нашей вершины''' (в поддерево включается и сама вершина). Обратим внимание, что все операции с обычным декартовым деревом делались сверху. Также заметим, что если по пути от корня до некой вершины просуммировать все такие величины в левых поддеревьях, в которые мы не пошли, увеличенные на единицу, то придя в саму вершину и добавив к этой величине количество элементов в её левом поддереве, мы получим как раз ее ключ <tex>X</tex>. [[Файл:DDpoNK.png|Пример описанного дерева с демонстрацией определения ключа <tex>X</tex>]]

Структура обычного декартова дерева поддерживается с помощью двух операций: <tex>\mathrm{split}</tex> {{---}} разбиение одного декартова дерева на два таких, что в одном ключ <tex>X</tex> меньше, чем заданное значение, а в другом {{---}} больше, и <tex>\mathrm{merge}</tex> {{---}} слияние двух деревьев, в одном из которых все ключи <tex>X</tex> меньше, чем во втором. С учетом отличий декартова дерева по неявному ключу от обычного, операции теперь будут описываться так: <tex>\mathrm{split(root, t)}</tex> {{---}} разбиение дерева на два так, что в левом окажется ровно <tex>t</tex> вершин, и <tex>\mathrm{merge(root1, root2root)}</tex> {{---}} слияние двух любых деревьев, соответственно.

Пусть процедура <tex>\mathrm{split}</tex> запущена в корне дерева с требованием отрезать от дерева <tex>tk</tex> вершин. Также известно, что в левом поддереве вершины находится <tex>l</tex> вершин, а в правом <tex>r</tex>. Рассмотрим все возможные случаи: * <tex>l = t\geqslant k</tex>. В этом случае процедура нужно рекурсивно запустить процедуру <tex>\mathrm{split}</tex> должна просто пометить, что у корня больше нет от левого сына, и вернуть его бывшего левого сына в качестве левой части ответа, а сам корень {{---}} в качестве правой. * Случай (с тем же параметром <tex>t = l + 1k</tex>) рассматривается аналогично предыдущему. При этом новым левым сыном корня станет правая часть ответа рекурсивной процедуры, а правой частью ответа станет корень. * <tex>t l < lk</tex>Случай симметричен предыдущему. В этом случае нужно рекурсивно запустить Рекурсивно запустим процедуру <tex>\mathrm{split}</tex> от левого правого сына с тем же параметром <tex>tk - l - 1</tex>, и . При этом новым правым сыном корня станет левая часть сына станет левой частью ответа нашей рекурсивной процедуры, а правая часть сына левой частью ответа станет левым сыном корня, после чего корень станет правой частью ответа. * Случай Псевдокод:  ''' <tex>\langle</tex>Treap, Treap<tex>\rangle</tex>''' split('''Treap''' t , '''int''' k) '''if''' t == <tex> \varnothing </tex> '''return''' <tex>\langle</tex><tex> \varnothing </tex>, <tex> \varnothing </tex><tex>\rangle</tex> '''int''' l = t.left.size '''if''' l + 1<tex>\small{\geqslant}</tex> k <tex>\langle</tex>t1, t2<tex>\rangle</tex> = split(t.left, k) t.left = t2 update(t) '''return''' <tex>\langle</tex> рассматривается аналогично предыдущемуt1, с той лишь разницейt<tex>\rangle</tex> '''else''' <tex>\langle</tex>t1, что от правого сына отрезается t2<tex>\rangle</tex>= split(t .right, k - l - 1) t.right = t1 update(t) '''return''' <tex>\langle</tex>t, t2<tex>\rangle</tex> вершин.

Посмотрим любую из [[Декартово дерево#Операция merge|реализаций]] процедуры <tex>\mathrm{merge}</tex>. Заметим, что в ней программа ни разу не обращается к ключу <tex>X</tex>. Поэтому реализация процедуры <tex>\mathrm{merge}</tex> для декартова дерева по неявному ключу вообще не будет отличаться от реализации той же процедуры в обычном декартовом дереве.

Таким образом, описана структура, от которой можно отрезать слева кусок часть произвольной длины и слить два любых куска две любые части в один одну в нужном порядке. Теперь мы имеем возможность:* вставить элемент в любое место (отрежем нужное количество элементов слева, сольем левое дерево с деревом из одного добавленного элемента и результат {{---}} с правым деревом);,* переставить любой кусок массива куда угодно (сделаем нужные разрезы и слияния в правильном порядке);,* совершать групповые операции с элементами. Вспомним реализацию таких операций в дереве отрезков и поймем, что ничего не помешает нам сделать то же самое с описанным деревом. В групповые операции включается, естественно, и взятие функции от отрезка.,* сделав на одном исходном массиве два дерева из элементов разной четности, можно решить задачу про смену мест четных и нечетных на отрезке,* используя идеи декартова дерева по неявному ключу, можно реализовать такую структуру данных как [[Rope|Rope]]. == См. также ==* [[Splay-дерево]]

==СсылкиИсточники информации==* [http://habrahabr.ru/post/102364/ Habrahabr {{- --}} Декартово дерево по неявному ключу]* [http://e-maxx.ru/algo/treap#7 E-maxx - MAXimal :: algo :: Неявные декартовы деревья]